Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 859 Атанасян — Подробные Ответы
На стороне \(ВС\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(А_1\) и \(А_2\), симметричные относительно середины \(ВС\), а на сторонах \(АС\) и \(АВ\) отмечены соответственно точки \(B_1\), \(B_2\) и \(C_1\), \(C_2\), симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки \(АА_2\), \(ВВ_2\) и \(СС_2\) пересекаются в одной точке.
Доказательство:
1) Так как точки \(A_2, B_2, C_2\) симметричны точкам \(A_1, B_1, C_1\) относительно середин сторон, то \(BA_2 = CA_1\) и \(BA_1 = CA_2\); \(BC_1 = AC_2\) и \(BC_2 = AC_1\); \(AB_2 = CB_1\) и \(CB_2 = AB_1\);
2) Таким образом: \(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{BA_1}{CA_1} = \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{BC_2}{CA_2} = \frac{AB_2}{CB_2}\), следовательно по теореме Чевы, если \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке, то и \(AA_2, BB_2, CC_2\) пересекаются в одной точке.
Дано: треугольник ΔABC, точки A1, B1, C1 лежат на сторонах треугольника, точки A2, B2, C2 являются симметричными точками A1, B1, C1 относительно середин соответствующих сторон.
Доказательство:
1) Рассмотрим точки A2, B2, C2, которые являются симметричными точкам A1, B1, C1 относительно середин сторон треугольника ΔABC. Это означает, что \(BA_2 = CA_1\) и \(BA_1 = CA_2\), \(BC_1 = AC_2\) и \(BC_2 = AC_1\), \(AB_2 = CB_1\) и \(CB_2 = AB_1\).
2) Применим теорему Чевы к треугольнику ΔABC. Согласно теореме Чевы, если три прямые, проведенные из вершин треугольника к противоположным сторонам, пересекаются в одной точке, то отношения отрезков, на которые эти прямые делят противоположные стороны, связаны соотношением:
\(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{BA_1}{CA_1} = \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{BC_2}{CA_2} = \frac{AB_2}{CB_2}\)
3) Поскольку точки A2, B2, C2 являются симметричными точкам A1, B1, C1 относительно середин сторон, то выполняется равенство отношений, приведенное в пункте 2. Это означает, что если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и прямые AA2, BB2, CC2 также пересекаются в одной точке.
Таким образом, доказано, что если AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то и AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.