Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 858 Атанасян — Подробные Ответы
Треугольники \(АВС\) и \(А_1В_1С_1\) расположены так, что прямые \(АВ\) и \(А_1В_1\), \(ВС\) и \(В_1С_1\), \(СА\) и \(С_1А_1\) пересекаются в точках \(P\), \(Q\), \(R\). Докажите, что прямые \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки \(Р\), \(Q\) и \(R\) лежат на одной прямой (теорема Дезарга)
Пусть AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке T, тогда по теореме Менелая:
\(\frac{AP}{BP} \cdot \frac{BB1}{TB1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки P, B1 и A1 принадлежат одной прямой)
\(\frac{AR}{CR} \cdot \frac{CC1}{TC1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки R, C1 и A1 принадлежат одной прямой)
\(\frac{BQ}{CQ} \cdot \frac{TC1}{BB1} = 1\) (так как точки Q, C1 и B1 принадлежат одной прямой)
Таким образом, \(\frac{AP \cdot BQ \cdot CR \cdot TB1 \cdot AA1 \cdot TC1 \cdot BB1 \cdot CC1 \cdot TA1}{BP \cdot CQ \cdot AR \cdot BB1 \cdot TA1 \cdot CC1 \cdot TB1 \cdot TC1 \cdot AA1} = 1\)
Следовательно, точки P, Q и R лежат на одной прямой.
Хорошо, вот подробное пошаговое решение:
Дано:
— Треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 пересекаются.
— Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке Q.
— Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке P.
— Прямые CA и C1A1 пересекаются в точке R.
Доказать, что точки пересечения AA1, BB1 и CC1 лежат на одной прямой или являются параллельными, если и только если точки P, Q и R лежат на одной прямой.
Решение:
Предположим, что точки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке T.
По теореме Менелая, если три прямые пересекаются в одной точке, то произведение отношений длин отрезков на этих прямых равно 1.
Для ΔABT:
\(\frac{AP}{BP} \cdot \frac{BB1}{TB1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки P, B1 и A1 лежат на одной прямой)
Для ΔACT:
\(\frac{AR}{CR} \cdot \frac{CC1}{TC1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки R, C1 и A1 лежат на одной прямой)
Для ΔBCT:
\(\frac{BQ}{CQ} \cdot \frac{TC1}{BB1} = 1\) (так как точки Q, C1 и B1 лежат на одной прямой)
Умножая эти три равенства, получаем:
\(\frac{AP \cdot BQ \cdot CR \cdot TB1 \cdot AA1 \cdot TC1 \cdot BB1 \cdot CC1 \cdot TA1}{BP \cdot CQ \cdot AR \cdot BB1 \cdot TA1 \cdot CC1 \cdot TB1 \cdot TC1 \cdot AA1} = 1\)
Следовательно, точки P, Q и R лежат на одной прямой.
Обратно, если точки P, Q и R лежат на одной прямой, то по теореме Менелая точки пересечения AA1, BB1 и CC1 также будут лежать на одной прямой или быть параллельными.
Таким образом, доказано, что точки пересечения AA1, BB1 и CC1 лежат на одной прямой или являются параллельными тогда и только тогда, когда точки P, Q и R лежат на одной прямой.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.