ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 858 Атанасян — Подробные Ответы

Треугольники \(АВС\) и \(А_1В_1С_1\) расположены так, что прямые \(АВ\) и \(А_1В_1\), \(ВС\) и \(В_1С_1\), \(СА\) и \(С_1А_1\) пересекаются в точках \(P\), \(Q\), \(R\). Докажите, что прямые \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки \(Р\), \(Q\) и \(R\) лежат на одной прямой (теорема Дезарга)

Пусть AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке T, тогда по теореме Менелая:
\(\frac{AP}{BP} \cdot \frac{BB1}{TB1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки P, B1 и A1 принадлежат одной прямой)
\(\frac{AR}{CR} \cdot \frac{CC1}{TC1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки R, C1 и A1 принадлежат одной прямой)
\(\frac{BQ}{CQ} \cdot \frac{TC1}{BB1} = 1\) (так как точки Q, C1 и B1 принадлежат одной прямой)
Таким образом, \(\frac{AP \cdot BQ \cdot CR \cdot TB1 \cdot AA1 \cdot TC1 \cdot BB1 \cdot CC1 \cdot TA1}{BP \cdot CQ \cdot AR \cdot BB1 \cdot TA1 \cdot CC1 \cdot TB1 \cdot TC1 \cdot AA1} = 1\)
Следовательно, точки P, Q и R лежат на одной прямой.

Хорошо, вот подробное пошаговое решение:

Дано:
— Треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 пересекаются.
— Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке Q.
— Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке P.
— Прямые CA и C1A1 пересекаются в точке R.

Доказать, что точки пересечения AA1, BB1 и CC1 лежат на одной прямой или являются параллельными, если и только если точки P, Q и R лежат на одной прямой.

Решение:
Предположим, что точки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке T.

По теореме Менелая, если три прямые пересекаются в одной точке, то произведение отношений длин отрезков на этих прямых равно 1.

Для ΔABT:
\(\frac{AP}{BP} \cdot \frac{BB1}{TB1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки P, B1 и A1 лежат на одной прямой)

Для ΔACT:
\(\frac{AR}{CR} \cdot \frac{CC1}{TC1} \cdot \frac{TA1}{AA1} = 1\) (так как точки R, C1 и A1 лежат на одной прямой)

Для ΔBCT:
\(\frac{BQ}{CQ} \cdot \frac{TC1}{BB1} = 1\) (так как точки Q, C1 и B1 лежат на одной прямой)

Умножая эти три равенства, получаем:
\(\frac{AP \cdot BQ \cdot CR \cdot TB1 \cdot AA1 \cdot TC1 \cdot BB1 \cdot CC1 \cdot TA1}{BP \cdot CQ \cdot AR \cdot BB1 \cdot TA1 \cdot CC1 \cdot TB1 \cdot TC1 \cdot AA1} = 1\)

Следовательно, точки P, Q и R лежат на одной прямой.

Обратно, если точки P, Q и R лежат на одной прямой, то по теореме Менелая точки пересечения AA1, BB1 и CC1 также будут лежать на одной прямой или быть параллельными.

Таким образом, доказано, что точки пересечения AA1, BB1 и CC1 лежат на одной прямой или являются параллельными тогда и только тогда, когда точки P, Q и R лежат на одной прямой.