Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 856 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность, вписанная в четырёхугольник \(ABCD\), касается сторон \(AB\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) соответственно в точках \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\). Докажите, что прямые \(PQ\), \(RS\) и \(АС\) пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.
Доказательство: 1) \(BQ = BP, CQ = CR, DR = DS, AS = AP\) (как отрезки касательных, проведенных из одной точки); 2) Таким образом, \(\frac{AP}{PB} = \frac{BQ}{QC} = \frac{CR}{RD} = \frac{DS}{AS} = 1\), следовательно, по доказанному в задаче 855, прямые \(PQ, RS\) и \(AC\) пересекаются в одной точке или параллельны друг другу, что и требовалось доказать.
Дано: четырехугольник ABCD, вписанная окружность O касается сторон AB, BC, CD и AD в точках P, Q, R и S соответственно.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники BPQ и CQR. Так как точки P, Q, R лежат на окружности, то углы BPQ и CQR вписанные, следовательно, \(BPQ = BCQ\) и \(CQR = BQR\).
2) Аналогично, рассмотрим треугольники DRS и ASD. Так как точки R, S, D лежат на окружности, то углы DRS и ASD вписанные, следовательно, \(DRS = DAS\) и \(ASD = RSD\).
3) Таким образом, \(BPQ = BCQ\), \(CQR = BQR\), \(DRS = DAS\) и \(ASD = RSD\).
4) Из равенства углов следует, что \(BQ = BP\), \(CQ = CR\), \(DR = DS\) и \(AS = AP\).
5) Теперь рассмотрим отношения отрезков: \(\frac{AP}{PB} = \frac{BQ}{QC} = \frac{CR}{RD} = \frac{DS}{AS} = 1\).
6) Согласно теореме 855, прямые PQ, RS и AC либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
Таким образом, доказано, что прямые PQ, RS и AC пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.