Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 854 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
1) Так как ΔDAB = ΔCBL и ΔADC = ΔBCL (как соответственные), то ΔABC ~ ΔALD.
2) Проведем медиану LM, так как BC ∥ AD и K — середина BC, то точка K ∈ LM.
3) ΔKNC = ΔANM (как вертикальные) и ΔNMA = ΔNKC (как накрест-лежащие), значит ΔKNC ~ ΔANM.
4) \(\frac{AL}{BL} = \frac{AM}{BK}\) (так как ΔABC ~ ΔALD) и \(\frac{CN}{AN} = \frac{KC}{AM}\) (т.к. ΔKNC ~ ΔANM), отсюда \(\frac{AL}{BL} \cdot \frac{BK}{CK} \cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AM}{BK} \cdot \frac{KC}{AM} = 1\).
5) Таким образом, точки L, K, M, N принадлежат одной прямой.
Полное пошаговое решение:
Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, точки K и M — середины оснований BC и AD соответственно, точка N — пересечение диагоналей, точка L — пересечение продолжений AB и DC.
Необходимо доказать, что точки L, K, M, N лежат на одной прямой.
Доказательство:
1) Так как ΔDAB = ΔCBL и ΔADC = ΔBCL (как соответственные углы), то ΔABC ~ ΔALD.
2) Проведем медиану LM треугольника ΔALD. Так как BC ∥ AD и K — середина BC, то точка K принадлежит медиане LM, то есть K ∈ LM.
3) Рассмотрим углы ΔKNC и ΔANM. Так как углы KNC и ANM вертикальные, то ΔKNC = ΔANM. Также углы NKC и NAM являются накрест-лежащими, поэтому ΔNKC = ΔNAM. Следовательно, ΔKNC ~ ΔANM.
4) Применим теорему Менелая к треугольникам ΔABC и ΔALD:
\(\frac{AL}{BL} = \frac{AM}{BK}\) (так как ΔABC ~ ΔALD)
\(\frac{CN}{AN} = \frac{KC}{AM}\) (так как ΔKNC ~ ΔANM)
Перемножая эти равенства, получаем:
\(\frac{AL}{BL} \cdot \frac{BK}{CK} \cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AM}{BK} \cdot \frac{KC}{AM} = 1\)
5) Таким образом, по теореме Менелая точки L, K, M, N лежат на одной прямой.
Следовательно, доказано, что точки L, K, M, N принадлежат одной прямой.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.