Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 853 Атанасян — Подробные Ответы
На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) или их продолжениях отмечены соответственно точки \(А_1\), \(В_1\) и \(С_1\), лежащие на одной прямой. Докажите, что точки \(А_2\), \(В_2\) и \(С_2\), симметричные соответственно точкам \(А_1\), \(В_1\) и \(C_1\) относительно середин сторон \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\), также лежат на одной прямой.
Согласно теореме Менелая, для доказательства того, что точка C2 лежит на прямой A2B2, нам необходимо показать, что выполняется соотношение: \(
\frac{AC2}{C2A2} \cdot \frac{BA2}{A2B} \cdot \frac{CB2}{B2C} = 1
\). Используя данные из условия задачи, мы можем вычислить:
\(
\frac{AC2}{C2A2} = \frac{AC1}{C1A1} = \frac{BC1}{B1C}, \quad \frac{BA2}{A2B} = \frac{CA1}{A1C} = \frac{AB2}{B2A}, \quad \frac{CB2}{B2C} = \frac{AB1}{B1A} = \frac{BC2}{C2B}
\)
Подставляя эти выражения в формулу теоремы Менелая, получаем:
\(
\frac{AC1}{C1A1} \cdot \frac{CA1}{A1C} \cdot \frac{AB1}{B1A} = 1
\)
Следовательно, точка C2 лежит на прямой A2B2, что и требовалось доказать.
Хорошо, вот подробное пошаговое решение задачи:
Дано: Треугольник ABC, точки C1, A2, B2 являются симметричными отражениями точек C, A, B относительно сторон треугольника соответственно. Требуется доказать, что точка C2 лежит на прямой A2B2.
Доказательство:
1) Из условия симметричности следует, что:
\(BA2 = CA1, \quad BA1 = CA2, \quad BC1 = AC2\)
\(BC2 = AC1, \quad AB2 = CB1, \quad CB2 = AB1\)
2) Согласно теореме Менелая, для того, чтобы точка лежала на прямой, должно выполняться следующее соотношение:
\(\frac{AC2}{C2A2} \cdot \frac{BA2}{A2B} \cdot \frac{CB2}{B2C} = 1\)
3) Подставляя выражения из пункта 1, получаем:
\(\frac{AC1}{C1A1} \cdot \frac{CA1}{A1C} \cdot \frac{AB1}{B1A} = 1\)
4) Таким образом, точка C2 лежит на прямой A2B2, что и требовалось доказать.
Вывод: Используя теорему Менелая и данные об симметричных отражениях точек, мы доказали, что точка C2 лежит на прямой A2B2.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.