Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 852 Атанасян — Подробные Ответы
Биссектрисы внешних углов \(А\), \(В\) и \(С\) треугольника \(АВС\) пересекают продолжения противоположных сторон в точках \(А_1\), \(В_1\) и \(C_1\). Докажите, что точки \(А_1\), \(В_1\) и \(С_1\) лежат на одной прямой
Решение:
1) По доказанному в задаче 837: \(\frac{BA_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{CB_1}{CB}\)
2) Согласно теореме Менелая: \(\frac{AC_1}{CA_1} \cdot \frac{BA_1}{AB_1} \cdot \frac{CB_1}{BC_1} = 1\)
Таким образом, данные точки лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Дано: ΔABC, C₁ ∈ AB, A₁ ∈ BC, B₁ ∈ AC, AA₁ — биссектриса ∠A, BB₁ — биссектриса ∠B, CC₁ — биссектриса ∠C.
Доказать: точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Решение:
1) Согласно условию задачи, треугольник ABC дан, и известны точки A₁, B₁, C₁, лежащие на сторонах треугольника.
2) Применим теорему Менелая к треугольнику ABC:
\(\frac{AC_1}{CA_1} \cdot \frac{BA_1}{AB_1} \cdot \frac{CB_1}{BC_1} = 1\)
3) Используя свойства биссектрис, можно записать:
\(\frac{BA_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}, \quad \frac{CB_1}{BC} = \frac{AB_1}{AB}\)
4) Подставляя эти выражения в формулу Менелая, получаем:
\(\frac{AC_1}{CA_1} \cdot \frac{BA_1}{AB} \cdot \frac{CB_1}{BC} = 1\)
5) Таким образом, точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.