Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 851 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки \(АА_1\) и \(ВВ_1\) — биссектрисы треугольника \(АВС\), луч \(СС_1\) — биссектриса его внешнего угла, причём точка \(С_1\) лежит на прямой \(АВ\). Докажите, что точки \(А_1\), \(B_1\) и \(С_1\) лежат на одной прямой.
По свойству биссектрисы: \(\frac{CB_1}{CB} = \frac{BA_1}{AB}\) и \(\frac{CA_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB}\). Из решения задачи 837: \(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{CB}\). Таким образом, \(\frac{AC_1}{BA_1} = \frac{AC}{AB}\), следовательно, точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
Дано: в треугольнике ABC биссектрисы AA1, BB1 и внешняя биссектриса CC1 пересекаются в точке C1, лежащей на стороне AB.
Доказательство:
1) По свойству биссектрисы, \(\frac{CB_1}{CB} = \frac{BA_1}{AB}\) и \(\frac{CA_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB}\). Это следует из определения биссектрисы, согласно которому биссектриса делит противоположную сторону на две равные части.
2) Из решения задачи 837 известно, что \(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{CB}\). Это следует из свойства внешней биссектрисы, согласно которому она делит противоположную сторону в обратном отношении.
3) Теперь можно записать: \(\frac{AC_1}{BA_1} = \frac{AC}{AB}\). Это следует из пунктов 1 и 2, если разделить соответствующие отношения: \(\frac{\frac{CA_1}{AC}}{\frac{BA_1}{AB}} = \frac{\frac{AC_1}{BC_1}}{\frac{CB_1}{CB}}\).
4) Таким образом, мы показали, что отношения сторон треугольника ABC и отрезков, образованных биссектрисами, равны. Это означает, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой, так как они являются точками пересечения биссектрис с противоположными сторонами треугольника.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.