Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 851 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки \(АА_1\) и \(ВВ_1\) — биссектрисы треугольника \(АВС\), луч \(СС_1\) — биссектриса его внешнего угла, причём точка \(С_1\) лежит на прямой \(АВ\). Докажите, что точки \(А_1\), \(B_1\) и \(С_1\) лежат на одной прямой.
По свойству биссектрисы: \(\frac{CB_1}{CB} = \frac{BA_1}{AB}\) и \(\frac{CA_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB}\). Из решения задачи 837: \(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{CB}\). Таким образом, \(\frac{AC_1}{BA_1} = \frac{AC}{AB}\), следовательно, точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
Дано: в треугольнике ABC биссектрисы AA1, BB1 и внешняя биссектриса CC1 пересекаются в точке C1, лежащей на стороне AB.
Доказательство:
1) По свойству биссектрисы, \(\frac{CB_1}{CB} = \frac{BA_1}{AB}\) и \(\frac{CA_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB}\). Это следует из определения биссектрисы, согласно которому биссектриса делит противоположную сторону на две равные части.
2) Из решения задачи 837 известно, что \(\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{CB}\). Это следует из свойства внешней биссектрисы, согласно которому она делит противоположную сторону в обратном отношении.
3) Теперь можно записать: \(\frac{AC_1}{BA_1} = \frac{AC}{AB}\). Это следует из пунктов 1 и 2, если разделить соответствующие отношения: \(\frac{\frac{CA_1}{AC}}{\frac{BA_1}{AB}} = \frac{\frac{AC_1}{BC_1}}{\frac{CB_1}{CB}}\).
4) Таким образом, мы показали, что отношения сторон треугольника ABC и отрезков, образованных биссектрисами, равны. Это означает, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой, так как они являются точками пересечения биссектрис с противоположными сторонами треугольника.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.