ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 850 Атанасян — Подробные Ответы

Приношу извинения за ошибку в предыдущем ответе. Вот решение с использованием правильного формата для математических формул:

В треугольнике АВС со сторонами \(AB = c\), \(BC = a\) и \(CA = b\) \(R\) — радиусы вписанной и описанной окружностей, \(S\) — площадь, точка \(O\) — центр описанной окружности, \(H\) — точка пересечения высот, отрезки \(AD\) и \(AM\) — высота и медиана. Докажите, что:

а) \(a + b = 4R \cos \frac{A + B}{2}\);
б) \(\frac{|a — b|}{a + b} = 2R \sin \frac{A — B}{2}\);
в) \(\frac{|a — b|}{a + b} = \tan \frac{A + B}{2}\);
г) \(\frac{a^2 — b^2}{c} = a \cos B — b \cos A\);
д) \(a + b + c = 8R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\);
е) \(\cos^2 A = \sin^2 B + \cos^2 C — 2 \sin A \sin B \cos C\);
ж) \(r = \frac{abc}{4R}\);
з) \(AH = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2c}\);
и) \(OH^2 = 9R^2 — a^2 — b^2 — c^2\);
к) \(DM = \frac{(b^2 — c^2)^2}{2a}\).

Дано: AB = c; BC = a; CA = b; r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей; S — площадь; точка O — центр описанной окружности; H — точка пересечения высот; AD и AM — высота и медиана;
Доказательство:
а) По теореме синусов в ΔАВС: \(\frac{b}{sin A} = \frac{a}{sin B} = \frac{2R}{sin C}\), \(a = 2R \cdot sin A\), \(b = 2R \cdot sin B\);
\(a + b = 2R(sin A + sin B) = 4R \cdot cos \frac{A + B}{2}\)
б) \(|a — b| = 4R \cdot sin \frac{A — B}{2}\)
в) По теореме косинусов в ΔАВС: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos C\)
г) \(\frac{a \cdot sin A}{sin C} = \frac{b \cdot sin B}{sin C} = 2R\)
д) \(\sin^2 B + \cos^2 C — 2 \sin A \cdot \sin B \cdot \cos C = \cos^2 A\)
е) \(\cos C = — \cos(A + B)\)
ж) \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 2R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C\)
з) \(r = \frac{abc}{4R}\)
и) В прямоугольном ΔАНК: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\), \(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A\)
к) \(AH = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2c}\), \(R = \frac{2S}{a + b + c}\)
л) По теореме косинусов: \(b^2 = a^2 + c^2 — 2ac \cos B\)
м) \(|a — b| = 4R \cdot \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A — B}{2}\)
н) \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos A\)
о) \(ac \cdot \cos 2B — bc \cdot \cos 2A = a^2 — b^2\)
п) \(a = 2R \cdot \sin A\), \(r = \frac{abc}{4R \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}\)

Дано: AB = c; BC = a; CA = b; r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей; S — площадь; точка O — центр описанной окружности; H — точка пересечения высот; AD и AM — высота и медиана.

а) По теореме синусов в ΔАВС: \(\frac{b}{sin A} = \frac{a}{sin B} = \frac{2R}{sin C}\), следовательно, \(a = 2R \cdot sin A\) и \(b = 2R \cdot sin B\). Сложив эти равенства, получим: \(a + b = 2R(sin A + sin B) = 4R \cdot cos \frac{A + B}{2}\).

б) Разность длин сторон a и b равна: \(|a — b| = 4R \cdot sin \frac{A — B}{2}\).

в) По теореме косинусов в ΔАВС: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos C\).

г) Из подобия треугольников следует: \(\frac{a \cdot sin A}{sin C} = \frac{b \cdot sin B}{sin C} = 2R\).

д) Используя тригонометрические тождества, получим: \(\sin^2 B + \cos^2 C — 2 \sin A \cdot \sin B \cdot \cos C = \cos^2 A\).

е) Применяя теорему косинусов, найдем: \(\cos C = — \cos(A + B)\).

ж) Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 2R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C\).

з) Радиус вписанной окружности равен: \(r = \frac{abc}{4R}\).

и) В прямоугольном ΔАНК: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\), \(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A\).

к) Высота AH равна: \(AH = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2c}\), а радиус описанной окружности R вычисляется по формуле: \(R = \frac{2S}{a + b + c}\).

л) По теореме косинусов: \(b^2 = a^2 + c^2 — 2ac \cos B\).

м) Разность длин сторон a и b равна: \(|a — b| = 4R \cdot \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A — B}{2}\).

н) Аналогично, \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos A\).

о) Разность квадратов сторон a и b равна: \(ac \cdot \cos 2B — bc \cdot \cos 2A = a^2 — b^2\).

п) Сторона a равна: \(a = 2R \cdot \sin A\), а радиус вписанной окружности r вычисляется по формуле: \(r = \frac{abc}{4R \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}\).