Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 849 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки AD, AH и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника АВС, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что \(MK^2 = MD \cdot MH\)
Краткое решение:
1) Пусть AB = c, BC = a, CA = b, при этом b > c
2) BK_1 = BK, CK = CK_2 и AK_1 = AK_2 (как касательные из одной точки), тогда BK + CK + AK_1 = \(\frac{a + b + c}{2} = p\), отсюда CK = p — (BK_1 + K_1A) = p — c
3) AM — медиана, значит BM = MC = \(\frac{a + b — c}{2}\)
4) BD = \(\frac{ac}{b + c}\), по свойству биссектрисы, тогда CD = BC — BD = \(\frac{a — ac}{b + c}\)
5) MD = CD — MC = \(\frac{ab — ac}{2(b + c)} = \frac{a(b — c)}{2(b + c)}\)
6) MH = CH — MC = b \cdot \cos C — \(\frac{a}{2}\) = \(\frac{a^2 + b^2 — c^2}{2a}\)
7) Таким образом: \(MH \cdot MD = \frac{a(b — c)^2}{4(b + c)} = MK^2\), что и требовалось доказать.
Итак, рассмотрим полное пошаговое решение данной задачи:
Дано: ΔABC; AD — биссектриса; AH — высота; AM — медиана; вписанная окружность касается BC в точке K.
Требуется доказать: \(MK^2 = MD \cdot MH\).
Доказательство:
1) Пусть AB = c, BC = a, CA = b, при этом b > c.
2) Так как BK, CK являются касательными к окружности, исходящими из одной точки K, то \(BK_1 = BK\), \(CK_2 = CK\) и \(AK_1 = AK_2\). Следовательно, \(BK + CK + AK_1 = \frac{a + b + c}{2} = p\), откуда \(CK = p — (BK_1 + K_1A) = p — c\).
3) Так как AM является медианой, то \(BM = MC = \frac{a + b — c}{2}\).
4) По свойству биссектрисы, \(BD = \frac{ac}{b + c}\), тогда \(CD = BC — BD = \frac{a — ac}{b + c}\).
5) \(MD = CD — MC = \frac{ab — ac}{2(b + c)} = \frac{a(b — c)}{2(b + c)}\).
6) \(MH = CH — MC = b \cdot \cos C — \frac{a}{2} = \frac{a^2 + b^2 — c^2}{2a}\).
7) Таким образом, \(MH \cdot MD = \frac{a(b — c)^2}{4(b + c)} = MK^2\), что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали, что \(MK^2 = MD \cdot MH\), используя свойства биссектрисы, медианы и касательных к окружности.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.