Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 848 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что: а) площадь \(S\) четырёхугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), описанного около окружности, выражается формулой \(S = \sqrt{abcd \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{B + C}{2} \sin \frac{C + D}{2} \sin \frac{D + A}{2}}\); б) если четырёхугольник со сторонами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) является одновременно описанным и вписанным, то его площадь \(S\) выражается формулой \(S = \sqrt{abcd}\).
Площадь четырехугольника ABCD вычисляется по формуле:
\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) — abcd \cos \frac{B+D}{2}}\), где \(p = \frac{a+b+c+d}{2}\) — полупериметр четырехугольника.
Доказательство:
1) Для описанного четырехугольника \(a + c = b + d\), следовательно \(p = a + c = b + d\).
2) Подставляя это выражение в формулу площади, получаем:
\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) — abcd \cos \frac{B+D}{2}}\)
Для вписанного и описанного четырехугольника \(B + D = 180^\circ\), следовательно \(\cos \frac{B+D}{2} = 0\) и
\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{abcd}\)
Дано: четырехугольник ABCD с сторонами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и полупериметром \(p\).
Требуется найти площадь \(S\) четырехугольника ABCD.
1) Построим диагональ \(AC\) четырехугольника ABCD.
2) Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ACD:
\(S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}\)
3) Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}ab \sin B\)
4) Площадь треугольника ACD вычисляется по формуле:
\(S_{ACD} = \frac{1}{2}cd \sin D\)
5) Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}ab \sin B + \frac{1}{2}cd \sin D\)
6) Применяя теорему косинусов к диагонали AC, получаем:
\(AC^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos B = c^2 + d^2 — 2cd \cos D\)
7) Выразим \(ab \cos B\) из этого уравнения:
\(ab \cos B = \frac{a^2 + d^2 — b^2 — c^2}{2}\)
8) Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:
\(S_{ABCD}^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) — abcd \cos \frac{B+D}{2}\)
9) Таким образом, окончательная формула для площади четырехугольника ABCD имеет вид:
\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) — abcd \cos \frac{B+D}{2}}\)
10) Где \(p = \frac{a+b+c+d}{2}\) — полупериметр четырехугольника.
Ответ: площадь четырехугольника ABCD вычисляется по формуле:
\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) — abcd \cos \frac{B+D}{2}}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.