ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 845 Атанасян — Подробные Ответы

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь \(S\) треугольника АВС выражается формулой \(S = r_a(p — a)\), где \(r_a\) — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны \(BC = a\), \(p\) — полупериметр треугольника; \(os = \sqrt{r_a r_b r_c}\), где \(r\) — радиус окружности, вписанной в треугольник, \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\) — радиусы вневписанных окружностей.

1) Отобразим условие задачи

Дано: ΔАВС: Вневписанные окружности радиусом r_a, r_b, r_c; вписанная окружность радиусом r; BC = a;

Доказать: a) S_ABC = r_a(p — a); б) S = \(\sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c}\)

Доказательство:
а) Пусть O — центр вневписанной окружности, AB = c, BC = a, AC = b; 1) AP = AT, CH = CT, BH = BP = k (как касательные из одной точки), AP = c + k и AT = AC + BC — BH = b + a — k, тогда
b + a — c = p — c, где p — полупериметр; b + a — k = c + k, отсюда k = 2 AT = AP = c + k = c + p — c = p; CH = CT = a — k;

2) S_APOT = S_AOP + S_AOT = \(\frac{1}{2} \cdot r_a \cdot p + \frac{1}{2} \cdot r_a \cdot p = r_a \cdot p\);

3) S_OPBCT = S_OPB + S_BOH + S_OHC + S_OCT = r_a \cdot k + r_a(a — k) = r_a \cdot a;

4) Таким образом, S_ABC = S_APOT — S_OPBCT = r_a \cdot p — r_a \cdot a = r_a(p — a), что и требовалось доказать.

б) S_ABC = r_a(p — a) = pr (по теореме п. 92), отсюда
\(S_{ABC} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c}\)

1) \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{\frac{S_{ABC}}{r_a} \cdot \frac{S_{ABC}}{r_b} \cdot \frac{S_{ABC}}{r_c}}\), отсюда \(S_{ABC} = \sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c}\)

2) S_ABC = r_a(p — a) = pr (по теореме п. 92), отсюда \(\frac{1}{r_a} = \frac{p — a}{S_{ABC}}\); Аналогично:
\(\frac{1}{r_b} = \frac{p — b}{S_{ABC}}, \frac{1}{r_c} = \frac{p — c}{S_{ABC}}\)

3) \(\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{(p — a) + (p — b) + (p — c)}{S_{ABC}} = \frac{3p — (a + b + c)}{S_{ABC}}\), что и требовалось доказать.

Дано: ΔАВС: Вневписанные окружности радиусом r_a, r_b, r_c; вписанная окружность радиусом r; BC = a.

Доказать:
а) S_ABC = r_a(p — a);
б) S = \(\sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c}\)

Доказательство:
Пусть O — центр вневписанной окружности, AB = c, BC = a, AC = b. Тогда 1) AP = AT, CH = CT, BH = BP = k (как касательные из одной точки), AP = c + k и AT = AC + BC — BH = b + a — k. Отсюда b + a — c = p — c, где p — полупериметр; b + a — k = c + k, откуда k = 2. AT = AP = c + k = c + p — c = p; CH = CT = a — k.

Далее, 2) \(S_{\text{APOT}} = \frac{1}{2} \cdot r_a \cdot p + \frac{1}{2} \cdot r_a \cdot p = r_a \cdot p\). 3) \(S_{\text{OPBCT}} = S_{\text{OPB}} + S_{\text{BOH}} + S_{\text{OHC}} + S_{\text{OCT}} = r_a \cdot k + r_a(a — k) = r_a \cdot a\).

Таким образом, 4) \(S_{\text{ABC}} = S_{\text{APOT}} — S_{\text{OPBCT}} = r_a \cdot p — r_a \cdot a = r_a(p — a)\), что и требовалось доказать.

Для доказательства пункта б) имеем: \(S_{\text{ABC}} = r_a(p — a) = pr\) (по теореме п. 92). Тогда 1) \(S_{\text{ABC}} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{\frac{S_{\text{ABC}}}{r_a} \cdot \frac{S_{\text{ABC}}}{r_b} \cdot \frac{S_{\text{ABC}}}{r_c}}\), откуда \(S_{\text{ABC}} = \sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c}\). 2) \(\frac{1}{r_a} = \frac{p — a}{S_{\text{ABC}}}, \frac{1}{r_b} = \frac{p — b}{S_{\text{ABC}}}, \frac{1}{r_c} = \frac{p — c}{S_{\text{ABC}}}\). 3) \(\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{(p — a) + (p — b) + (p — c)}{S_{\text{ABC}}} = \frac{3p — (a + b + c)}{S_{\text{ABC}}}\), что и требовалось доказать.