Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 844 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь \(S\) треугольника АВС выражается формулой \(S = r_a(p — a)\), где \(r_a\) — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны \(BC = a\), \(p\) — полупериметр треугольника; \(os = \sqrt{r_a r_b r_c}\), где \(r\) — радиус окружности, вписанной в треугольник, \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\) — радиусы вневписанных окружностей.
Решение:
1) OL = OM = ON = r; ZLOM = 180° — ZA;
2) \(S_{LOM} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin \angle LOM = \frac{r^2 \sin \angle A}{AB \cdot AC \sin \angle A} = \frac{r^2}{AB \cdot AC}\)
3) Аналогично находим: \(S_{MON} = \frac{r^2}{CA \cdot CB}, S_{NOL} = \frac{r^2}{BA \cdot BC}\)
4) \(S_{LMN} = S_{LOM} + S_{MON} + S_{NOL} = \frac{r^2(AB + BC + CA)}{AB \cdot BC \cdot CA} \cdot S_{ABC}\)
5) \(S_{ABC} = \frac{AB + BC + CA}{2} \cdot r, \frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{2r}{AB \cdot BC \cdot CA} \cdot S_{ABC} = \frac{r}{2R}\)
Решение:
Дано: вписанная окружность касается треугольника ΔABC в точках M, N и L. Известно, что M ∈ AC, N ∈ BC, L ∈ AB.
Требуется доказать, что отношение площади SЛМN к площади SАBC равно отношению радиуса окружности r к 2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ΔABC.
Доказательство:
1) Площадь треугольника ΔLOM равна:
\(S_{LOM} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin \angle LOM\)
Так как ∠LOM = 180° — ∠A, то
\(S_{LOM} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \angle A = \frac{r^2}{AB \cdot AC \sin \angle A} = \frac{r^2}{AB \cdot AC}\)
2) Аналогично находим площади других треугольников:
\(S_{MON} = \frac{r^2}{CA \cdot CB}\)
\(S_{NOL} = \frac{r^2}{BA \cdot BC}\)
3) Площадь SЛМN равна сумме площадей треугольников ΔLOM, ΔMON и ΔNOL:
\(S_{LMN} = S_{LOM} + S_{MON} + S_{NOL} = \frac{r^2(AB + BC + CA)}{AB \cdot BC \cdot CA} \cdot S_{ABC}\)
4) Площадь описанной окружности SАBC равна:
\(S_{ABC} = \frac{AB + BC + CA}{2} \cdot r\)
5) Отношение площадей:
\(\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{r^2(AB + BC + CA)}{AB \cdot BC \cdot CA} \cdot S_{ABC}}{\frac{AB + BC + CA}{2} \cdot r} = \frac{2r}{AB \cdot BC \cdot CA} \cdot S_{ABC} = \frac{r}{2R}\)
Таким образом, доказано, что \(S_{LMN} : S_{ABC} = r : 2R\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.