Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 842 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.
1) Отобразим условие задачи
Дано:
ΔABC;
ha = 4 см;
hb = 3 см;
hc = 6 см;
Решение:
1) Найдем стороны треугольника ABC: Пусть BC = a, AB = c, AC = b и ha, hp, hc — высоты, опущенные к данным сторонам, тогда:
SABC = 1/2 ha = 1/2 hb = 1/2 hc, отсюда 4 = 3b = 6c;
2) c = 2/3 a и b = 4/3 a, тогда полупериметр ΔABC равен:
p = (a + b + c)/2 = (a + 4/3 a + 2/3 a)/2 = 7/2, отсюда
(p — a) = a/2, (p — b) = 3a/2 — a = 3a/6 = a/2, и
(p — c) = 3/2 a — 2/3 a = 5a/6;
3) SABC = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) =
\(\sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{5a}{6}}\) =
\(\frac{a^2\sqrt{15}}{12} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot a\), отсюда a = 24/\(\sqrt{15}\) см;
SABC = 1/2 · 4 · 24/\(\sqrt{15}\) = 48/\(\sqrt{15}\) = 16\(\sqrt{15}\) см^2.
Ответ: SABC = 16\(\sqrt{15}\) см^2.
Дано: ΔABC, ha = 4 см, hb = 3 см, hc = 6 см.
Решение:
1) Найдем стороны треугольника ABC. Пусть BC = a, AB = c, AC = b, и ha, hb, hc — высоты, опущенные к данным сторонам.
Тогда площадь треугольника SABC = 1/2 ha = 1/2 hb = 1/2 hc, отсюда 4 = 3b = 6c.
2) Найдем значения сторон a, b, c:
c = 2/3 a и b = 4/3 a,
Полупериметр ΔABC равен: p = (a + b + c)/2 = (a + 4/3 a + 2/3 a)/2 = 7/2.
3) Вычислим разности полупериметра и сторон:
(p — a) = a/2, (p — b) = 3a/2 — a = 3a/6 = a/2,
(p — c) = 3/2 a — 2/3 a = 5a/6.
4) Найдем площадь треугольника SABC:
SABC = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(\sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{5a}{6}}\)
\(\frac{a^2\sqrt{15}}{12} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot a\)
5) Отсюда a = 24/\(\sqrt{15}\) см.
6) Подставляя значение a, получаем:
SABC = 1/2 · 4 · 24/\(\sqrt{15}\) = 48/\(\sqrt{15}\) = 16\(\sqrt{15}\) см^2.
Ответ: SABC = 16\(\sqrt{15}\) см^2.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.