ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 842 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

1) Отобразим условие задачи

Дано:
ΔABC;
ha = 4 см;
hb = 3 см;
hc = 6 см;

Решение:
1) Найдем стороны треугольника ABC: Пусть BC = a, AB = c, AC = b и ha, hp, hc — высоты, опущенные к данным сторонам, тогда:
SABC = 1/2 ha = 1/2 hb = 1/2 hc, отсюда 4 = 3b = 6c;
2) c = 2/3 a и b = 4/3 a, тогда полупериметр ΔABC равен:
p = (a + b + c)/2 = (a + 4/3 a + 2/3 a)/2 = 7/2, отсюда
(p — a) = a/2, (p — b) = 3a/2 — a = 3a/6 = a/2, и
(p — c) = 3/2 a — 2/3 a = 5a/6;
3) SABC = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) =
\(\sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{5a}{6}}\) =
\(\frac{a^2\sqrt{15}}{12} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot a\), отсюда a = 24/\(\sqrt{15}\) см;
SABC = 1/2 · 4 · 24/\(\sqrt{15}\) = 48/\(\sqrt{15}\) = 16\(\sqrt{15}\) см^2.

Ответ: SABC = 16\(\sqrt{15}\) см^2.

Дано: ΔABC, ha = 4 см, hb = 3 см, hc = 6 см.

Решение:
1) Найдем стороны треугольника ABC. Пусть BC = a, AB = c, AC = b, и ha, hb, hc — высоты, опущенные к данным сторонам.
Тогда площадь треугольника SABC = 1/2 ha = 1/2 hb = 1/2 hc, отсюда 4 = 3b = 6c.

2) Найдем значения сторон a, b, c:
c = 2/3 a и b = 4/3 a,
Полупериметр ΔABC равен: p = (a + b + c)/2 = (a + 4/3 a + 2/3 a)/2 = 7/2.

3) Вычислим разности полупериметра и сторон:
(p — a) = a/2, (p — b) = 3a/2 — a = 3a/6 = a/2,
(p — c) = 3/2 a — 2/3 a = 5a/6.

4) Найдем площадь треугольника SABC:
SABC = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(\sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{5a}{6}}\)
\(\frac{a^2\sqrt{15}}{12} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot a\)

5) Отсюда a = 24/\(\sqrt{15}\) см.

6) Подставляя значение a, получаем:
SABC = 1/2 · 4 · 24/\(\sqrt{15}\) = 48/\(\sqrt{15}\) = 16\(\sqrt{15}\) см^2.

Ответ: SABC = 16\(\sqrt{15}\) см^2.