Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 839 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.
Решение:
По второй теореме из п. 92:
\(\frac{\sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{\sin \angle C}{2 \cdot R}\)
Тогда:
\(AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\)
\(BC \cdot AB \sin \angle B = AC \cdot BH\)
\(BC \cdot AB = 2R \cdot BH, BC \cdot AB = D_{окр} \cdot BH\)
Что и требовалось доказать.
Решение:
Дано:
— Треугольник ABC
— Высота BH
— Требуется доказать, что AB · BC = Dокр · BH
Доказательство:
1. Применим вторую теорему из п. 92:
\(\frac{\sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{\sin \angle C}{2 \cdot R}\)
где R — радиус описанной окружности.
2. Выразим отношение сторон через синусы углов:
\(\frac{BC}{AB} = \frac{\sin \angle A}{\sin \angle B}\)
3. Умножим обе части на AB · BC:
\(AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B\)
4. Используя формулу площади треугольника:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B\)
5. Подставим выражение для площади в шаг 3:
\(AB \cdot BC = 2 \cdot S_{ABC}\)
6. Применим формулу Эйлера для площади треугольника, описанного около окружности:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\)
7. Подставим выражение для площади в шаг 5:
\(AB \cdot BC = AC \cdot BH\)
8. Используя свойство подобия треугольников:
\(\frac{BC \cdot AB}{\sin \angle B} = \frac{AC \cdot BH}{\sin \angle B}\)
9. Упростим:
\(BC \cdot AB \sin \angle B = AC \cdot BH\)
10. Наконец, получаем:
\(BC \cdot AB = 2R \cdot BH = D_{окр} \cdot BH\)
Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.