ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 839 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Решение:
По второй теореме из п. 92:
\(\frac{\sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{\sin \angle C}{2 \cdot R}\)
Тогда:
\(AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\)
\(BC \cdot AB \sin \angle B = AC \cdot BH\)
\(BC \cdot AB = 2R \cdot BH, BC \cdot AB = D_{окр} \cdot BH\)
Что и требовалось доказать.

Решение:

Дано:
— Треугольник ABC
— Высота BH
— Требуется доказать, что AB · BC = Dокр · BH

Доказательство:
1. Применим вторую теорему из п. 92:
\(\frac{\sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{\sin \angle C}{2 \cdot R}\)
где R — радиус описанной окружности.

2. Выразим отношение сторон через синусы углов:
\(\frac{BC}{AB} = \frac{\sin \angle A}{\sin \angle B}\)

3. Умножим обе части на AB · BC:
\(AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B\)

4. Используя формулу площади треугольника:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin \angle B\)

5. Подставим выражение для площади в шаг 3:
\(AB \cdot BC = 2 \cdot S_{ABC}\)

6. Применим формулу Эйлера для площади треугольника, описанного около окружности:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\)

7. Подставим выражение для площади в шаг 5:
\(AB \cdot BC = AC \cdot BH\)

8. Используя свойство подобия треугольников:
\(\frac{BC \cdot AB}{\sin \angle B} = \frac{AC \cdot BH}{\sin \angle B}\)

9. Упростим:
\(BC \cdot AB \sin \angle B = AC \cdot BH\)

10. Наконец, получаем:
\(BC \cdot AB = 2R \cdot BH = D_{окр} \cdot BH\)

Что и требовалось доказать.