Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 837 Атанасян — Подробные Ответы
Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что \(BD : AB = DC : AC\).
Решение:
1) Рассмотрим ΔADB и ΔADC:
\(\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}} = \frac{BD \cdot AH}{CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD}\)
2) Треугольники ΔAK и ΔAM равны: ∠DAK = ∠DAM, DA — общая сторона; ∠K = ∠M, ∠DKA = ∠DAM, DM = DK;
3) Площади треугольников:
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} DK \cdot AB\), \(S_{ACD} = \frac{1}{2} DK \cdot AC\)
\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{DK \cdot AB}{DK \cdot AC} = \frac{AB}{AC}\)
Таким образом, \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).
Решение:
Дано: ΔABC, AD — биссектриса, AD ∩ BC = D.
Доказать: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники ΔADB и ΔADC.
Согласно свойству биссектрисы, отношение сторон треугольника, прилегающих к биссектрисе, равно: \(\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}} = \frac{BD \cdot AH}{CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD}\)
2) Треугольники ΔAK и ΔAM равны по двум углам и общей стороне: ∠DAK = ∠DAM, DA — общая сторона; ∠K = ∠M, ∠DKA = ∠DAM, DM = DK.
3) Вычислим площади треугольников:
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} DK \cdot AB\), \(S_{ACD} = \frac{1}{2} DK \cdot AC\)
Тогда отношение площадей треугольников равно: \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{DK \cdot AB}{DK \cdot AC} = \frac{AB}{AC}\)
Таким образом, мы доказали, что \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.