Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 835 Атанасян — Подробные Ответы
На каждой из сторон выпуклого четырёхугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210. Известно, что в каждый из закрашенных четырёхугольников можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.
Дано: четырехугольник ABCD; в закрашенные четырехугольники можно вписать окружность;
Доказать: в ABCD можно вписать окружность;
Доказательство:
1) Впишем окружности в четырехугольники и отметим точки касания ими сторон ABCD как на рисунке, также отметим пересечения данных отрезков: K1, К2, К3, К4;
2) Касательные, проведенные из одной точки: BB1 = BB2, CC1 = CC2, AA2 = AA1, DD1 = DD2; a = AB + CD — BC — AD = A2B2 + C2D2 — B1C1 — A1D1;
3) Касательные, проведенные к двум окружностям: B1C1 = E1E2, A1D1 = F1F2, A2B2 = M1M2; C2D2 = N1N2, a = M1M2 + N1N2 — E1E2 — F1F2;
4) Касательные, проведенные из одной точки: K1M1 = K1E1, K2N1 = K2E2, K3F2 = K3N2; K4M2 = K4F1, a = K1K4 + K2K3 — K1K2 — K4K3;
5) Касательные, проведенные из одной точки: K1E3 = K1M3, K2E3 = K2N3, K3N3 = K3F3, K4M3 = K4F3; a = K1M3 + M3K4 + K2N3 + N3K3 — K1E3 — E3K2 — K4F3 — F3K3;
6) a = AB + CD — BC — AD = 0, следовательно в ABCD тоже можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Дано: четырехугольник ABCD; в закрашенные четырехугольники можно вписать окружность.
Доказать: в ABCD можно вписать окружность.
Доказательство:
1) Впишем окружности в четырехугольники и отметим точки касания ими сторон ABCD как на рисунке, также отметим пересечения данных отрезков: K1, К2, К3, К4. Касательные, проведенные из одной точки, образуют равные отрезки: BB1 = BB2, CC1 = CC2, AA2 = AA1, DD1 = DD2.
2) Вычислим длину отрезка a: a = AB + CD — BC — AD = \(A2B2 + C2D2 — B1C1 — A1D1\).
3) Касательные, проведенные к двум окружностям, также образуют равные отрезки: B1C1 = \(E1E2\), A1D1 = \(F1F2\), A2B2 = \(M1M2\); C2D2 = \(N1N2\), a = \(M1M2 + N1N2 — E1E2 — F1F2\).
4) Касательные, проведенные из одной точки, также образуют равные отрезки: K1M1 = \(K1E1\), K2N1 = \(K2E2\), K3F2 = \(K3N2\); K4M2 = \(K4F1\), a = \(K1K4 + K2K3 — K1K2 — K4K3\).
5) Касательные, проведенные из одной точки, также образуют равные отрезки: K1E3 = \(K1M3\), K2E3 = \(K2N3\), K3N3 = \(K3F3\), K4M3 = \(K4F3\); a = \(K1M3 + M3K4 + K2N3 + N3K3 — K1E3 — E3K2 — K4F3 — F3K3\).
6) Поскольку a = AB + CD — BC — AD = 0, следовательно, в четырехугольнике ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.