ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 834 Атанасян — Подробные Ответы

В трапецию ABCD с основаниями AB и CD (AB > CD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если \(CD = a\), \(DK = b\) и \(AK = d\), где К — точка касания окружности и стороны AD.

1) Отметим точки касания: E ∈ DC, M ∈ CB, F ∈ AB;
2) Касательные из одной точки: DE = DK = b, CM = EC = a — b; BM = BF = x, AK = AF = d;
3) Опустим высоту DH, тогда DH = 2R; \(DH^2 = AD^2 — AH^2 = (d + b)^2 — (d — b)^2\); \(4R^2 = d^2 +2db +b^2-d^2 +2db — b^2\); \(4R^2 = 4db, R^2 = db, R = \sqrt{db}\);
4) Опустим высоту CH1, тогда CH1 = 2R; \(CH^2 = BC^2 — BH^2 = (x + a -b)^2 — (x-a+b)^2\); \(4R^2 = 2x \cdot (a -b) + 2x \cdot (a-b) =4x \cdot (a-b)\); \(R^2 = x(a — b) = db, x = \frac{bd}{a-b}\);
5) \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}DH \cdot (DC + AB) = \frac{1}{2}\cdot 2R \cdot (d + x + a) = \left(d + \frac{bd}{a-b} + a\right)\sqrt{db}\).

Ответ: \(\frac{a^2 + a(d — b)}{a — b}\sqrt{db}\).

Отметим точки касания: точка E лежит на стороне DC, точка M лежит на стороне CB, точка F лежит на стороне AB.

Найдем уравнения касательных, проведенных из одной точки: DE = DK = b, CM = EC = a — b; BM = BF = x, AK = AF = d.

Опустим высоту DH, тогда DH = 2R. Используя теорему Пифагора, получим: \(DH^2 = AD^2 — AH^2 = (d + b)^2 — (d — b)^2\). Раскрывая скобки, имеем: \(4R^2 = d^2 + 2db + b^2 — d^2 + 2db — b^2\), что упрощается до \(4R^2 = 4db\). Следовательно, \(R^2 = db\) и \(R = \sqrt{db}\).

Аналогично опустим высоту CH1, тогда CH1 = 2R. Используя теорему Пифагора, получим: \(CH^2 = BC^2 — BH^2 = (x + a — b)^2 — (x — a + b)^2\). Раскрывая скобки, имеем: \(4R^2 = 2x(a — b) + 2x(a — b) = 4x(a — b)\). Следовательно, \(R^2 = x(a — b) = db\) и \(x = \frac{bd}{a — b}\).

Наконец, вычислим площадь трапеции ABCD: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}DH(DC + AB) = \frac{1}{2}\cdot 2R(d + x + a) = \left(d + \frac{bd}{a — b} + a\right)\sqrt{db}\).

Ответ: \(\frac{a^2 + a(d — b)}{a — b}\sqrt{db}\).