ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 833 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

1) Отметим точки касания окружностью сторон трапеции: E, F, G и Н;

2) Рассмотрим четырехугольник ABFH: ОН ⊥ AD и OF ⊥ BC и O E FH, следовательно ABFH — прямоугольник, отсюда FH = AB = 2r = h; BF = AH = OE = r;
3) Опустим высоту CK ⊥ AD; \(CK^2 = h^2 = CD^2 — KD^2 = CD^2 — (AD — BC)^2\);
4) По свойству описанного четырехугольника: AD + BC = AB + CD;
5) \(CD = AD + BC — AB = AD + BC — h; h^2 = (AD + BC — h)^2 -\)
\(- (AD — BC)^2; h^2 = (AD + BC)^2 — 2h(AD + BC) + h^2 — (AD — BC)^2;\)
\(
2h(AD + BC) = (AD + BC)^2 — (AD — BC)^2; 2h(AD + BC) =\)
\(= (AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2) — (AD^2 — 2AD \cdot BC + BC^2); \)
\(2h(AD + BC) = 4AD \cdot BC; h(AD + BC) = 2AD \cdot BC\);
6) \(S_{ABCD} = \frac{h(AD + BC)}{2} = \frac{2AD \cdot BC}{2} = AD \cdot BC\), что и требовалось доказать.

Дано: четырехугольник ABCD, где AD ∥ BC — трапеция, ∠A = 90°.

Доказать: площадь трапеции SABCD = AD · BC.

Решение:
1) Отметим точки касания окружностью сторон трапеции: E, F, G и H.
2) Рассмотрим четырехугольник ABFH. Так как ОН ⊥ AD и OF ⊥ BC, а точка O лежит на прямой FH, то ABFH является прямоугольником. Следовательно, FH = AB = 2r = h и BF = AH = OE = r.
3) Опустим высоту CK ⊥ AD. Тогда \(CK^2 = h^2 = CD^2 — KD^2 = CD^2 — (AD — BC)^2\).
4) Используя свойство описанного четырехугольника, получаем: AD + BC = AB + CD.
5) Найдем длину CD: \(CD = AD + BC — AB = AD + BC — h\). Тогда \(h^2 = (AD + BC — h)^2 — (AD — BC)^2\) и \(h^2 = (AD + BC)^2 — 2h(AD + BC) + h^2 — (AD — BC)^2\). Упростив, получим \(2h(AD + BC) = (AD + BC)^2 — (AD — BC)^2\) и \(2h(AD + BC) = (AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2) — (AD^2 — 2AD \cdot BC + BC^2)\). Таким образом, \(2h(AD + BC) = 4AD \cdot BC\) и \(h(AD + BC) = 2AD \cdot BC\).
6) Площадь трапеции SABCD = \(\frac{h(AD + BC)}{2} = \frac{2AD \cdot BC}{2} = AD \cdot BC\), что и требовалось доказать.