ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 830 Атанасян — Подробные Ответы

На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ и MD, E — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырёхугольника CDKE можно описать окружность.

1) Угол между хордами: \(\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MA\)
2) Так как \(\angle MB = \angle MA\), то \(\angle MDC = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MB = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MA = \angle BEC\)
3) Вертикальные углы: \(\angle BEC = \angle MEA\), \(\angle MEA = \angle MDC\), \(180^\circ = \angle KEC + \angle MEA = \angle KEC + \angle MDC\)
Таким образом, четырехугольник CDKE является вписанным.

Дано:
— Точка M — середина хорды AB
— Угол AMD = угол AMC = K
— Точка E — точка пересечения хорд AB и MC

Доказательство:
1) Рассмотрим угол между хордами AB и BC. Этот угол равен половине суммы центральных углов, опирающихся на эти хорды:
\(\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MA\)

2) Так как угол AMB равен углу AMA (они вертикальные), то:
\(\angle MDC = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MB = \frac{1}{2} \angle BC + \frac{1}{2} \angle MA = \angle BEC\)

3) Рассмотрим вертикальные углы:
\(\angle BEC = \angle MEA\)
\(\angle MEA = \angle MDC\)
Сложив эти равенства, получим:
\(180^\circ = \angle KEC + \angle MEA = \angle KEC + \angle MDC\)

Таким образом, четырехугольник CDKE является вписанным, так как сумма его противоположных углов равна 180 градусов.