Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 827 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Решение:
1) Проведем диаметр \(BB_1\):
\(\angle BAB_1 = \angle BAB_1 = 180^\circ = 90^\circ\); \(\angle AB_1 = 2\angle ABB_1 = 2(90^\circ — \angle AB_1B) = 2(90^\circ — \angle AB) = 2(90^\circ — \angle ACB)\);
2) В прямоугольном \(\triangle OCB\):
\(\angle O = 90^\circ\); \(\angle CBO = 90^\circ — \angle OCB\); \(\angle AB_1 = 2\angle CBD = \angle CD\); \(AB_1 = CD\);
3) В прямоугольном \(\triangle BAB_1\):
\((BB_1)^2 = AB^2 + (AB_1)^2 = d^2\); \((BB_1)^2 = AB^2 + CD^2 = d^2\).
Дано: вписанный четырехугольник ABCD, диагональ AC перпендикулярна диагонали BD.
Доказать: \(AB^2 + CD^2 = d^2\), где \(d\) — длина диагонали.
Решение:
1) Проведем диаметр \(BB_1\) окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Так как \(\angle BAB_1 = 180^\circ\), то \(\angle BAB_1 = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle AB_1 = 2\angle ABB_1 = 2(90^\circ — \angle AB_1B) = 2(90^\circ — \angle AB) = 2(90^\circ — \angle ACB)\).
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник OCB. Так как \(\angle O = 90^\circ\), то \(\angle CBO = 90^\circ — \angle OCB\). Также \(\angle AB_1 = 2\angle CBD = \angle CD\) и \(AB_1 = CD\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BAB_1. Используя теорему Пифагора, получим: \((BB_1)^2 = AB^2 + (AB_1)^2 = d^2\) и \((BB_1)^2 = AB^2 + CD^2 = d^2\).
Таким образом, мы доказали, что \(AB^2 + CD^2 = d^2\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.