Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 824 Атанасян — Подробные Ответы
Точки А, В, С и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что \(\angle AMD = \angle BAD\).
Точки A, B, C и D лежат на окружности. BM является биссектрисой угла ABC и лежит на луче BD. Необходимо доказать, что \(\angle AMD = \angle BAD\).
Пусть точка M — пересечение BD и AC. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны: \(\angle DBC = \angle DAC\). BM — биссектриса угла ABC.
\(\angle AMD = 180^\circ — \angle DAC — \angle ADB\).
\(\angle BAD = 180^\circ — \angle ABD — \angle ADB\).
Так как \(\angle ABD = \angle DBC\) и \(\angle DBC = \angle DAC\), то \(\angle ABD = \angle DAC\).
Следовательно, \(\angle AMD = 180^\circ — \angle ABD — \angle ADB\).
Таким образом, \(\angle AMD = \angle BAD\). Что и требовалось доказать.
Даны точки A, B, C и D, лежащие на окружности. Известно, что BM является биссектрисой угла ABC, и точка M лежит на луче BD. Требуется доказать, что \(\angle AMD = \angle BAD\).
Пусть точка M является точкой пересечения диагоналей BD и AC четырехугольника ABCD, вписанного в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Так, углы \(\angle DBC\) и \(\angle DAC\) опираются на дугу CD, следовательно, \(\angle DBC = \angle DAC\).
По условию, BM является биссектрисой угла \(\angle ABC\). Поскольку точка M лежит на луче BD, это означает, что прямая BD является биссектрисой угла \(\angle ABC\). Таким образом, угол \(\angle ABD\) равен углу \(\angle DBC\), то есть \(\angle ABD = \angle DBC\).
Из равенств \(\angle DBC = \angle DAC\) и \(\angle ABD = \angle DBC\) следует, что \(\angle ABD = \angle DAC\).
Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно, угол \(\angle AMD\) можно выразить как \(180^\circ — \angle MAD — \angle MDA\). Угол \(\angle MAD\) является частью угла \(\angle CAD\), который равен \(\angle DAC\). Угол \(\angle MDA\) является частью угла \(\angle BDA\), который равен \(\angle ADB\). Таким образом, \(\angle AMD = 180^\circ — \angle DAC — \angle ADB\).
Теперь рассмотрим угол \(\angle BAD\). В треугольнике ABD сумма углов равна 180 градусам. Следовательно, угол \(\angle BAD\) можно выразить как \(180^\circ — \angle ABD — \angle ADB\).
Мы ранее установили, что \(\angle ABD = \angle DAC\). Подставим это равенство в выражение для угла \(\angle BAD\): \(\angle BAD = 180^\circ — \angle DAC — \angle ADB\).
Сравнивая выражения для \(\angle AMD\) и \(\angle BAD\), мы видим, что \(\angle AMD = 180^\circ — \angle DAC — \angle ADB\) и \(\angle BAD = 180^\circ — \angle DAC — \angle ADB\). Отсюда следует, что \(\angle AMD = \angle BAD\).
Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.