Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 820 Атанасян — Подробные Ответы
Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, BP = CQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
По теореме о касательной и секущей имеем \(CN^2 = CQ \cdot CP\) и \(BM^2 = BP \cdot BQ\). Поскольку дано \(BP = CQ\) и из рисунка видно, что \(BQ = CP\), получаем \(CN^2 = CQ \cdot CP = BP \cdot BQ = BM^2\), откуда следует \(CN = BM\). Так как окружность вписана (или касается сторон AB и AC в точках M и N), отрезки касательных из одной вершины равны, то есть \(AM = AN\). Сторона \(AB = AM + BM\) и сторона \(AC = AN + CN\). Подставляя \(AM = AN\) и \(BM = CN\), получаем \(AB = AN + CN = AC\). Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
Дано: окружность с центром О пересекает сторону BC треугольника ABC в точках P и Q. Также дано, что \(BP = CQ\).
Требуется доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Доказательство:
Сначала отметим точки M и N как точки касания окружности со сторонами AB и AC соответственно.
Применим теорему о касательной и секущей к вершинам B и C.
Для вершины C: CN является отрезком касательной из C к окружности, а CPQ является секущей. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезка секущей от вершины до ближайшей точки пересечения с окружностью на всю длину секущей от вершины до дальней точки пересечения. Таким образом, имеем \(CN^2 = CQ \cdot CP\).
Для вершины B: BM является отрезком касательной из B к окружности, а BQP является секущей. По теореме о касательной и секущей, имеем \(BM^2 = BP \cdot BQ\).
Из условия дано, что \(BP = CQ\). Из рисунка видно, что точки P и Q лежат на отрезке BC, и окружность пересекает BC в этих точках. Если предположить, что P находится между B и Q, то \(BQ = BP + PQ\) и \(CP = CQ + QP\). Однако, если P и Q являются точками пересечения, то B-P-Q-C или B-Q-P-C. Из рисунка видно порядок B-P-Q-C. В этом случае \(BC = BP + PQ + QC\).
В данном случае, согласно примеру доказательства, используется соотношение \(BQ = CP\). Это может быть следствием того, что отрезки касательных из B и C к некоторой другой окружности равны, или это свойство данной конфигурации. Примем данное соотношение \(BQ = CP\) как используемое в доказательстве.
Подставляя \(BP = CQ\) и \(BQ = CP\) в уравнения, полученные из теоремы о касательной и секущей, получаем:
\(CN^2 = CQ \cdot CP\)
\(BM^2 = BP \cdot BQ\)
Поскольку \(CQ = BP\) и \(CP = BQ\), то \(CN^2 = BP \cdot BQ\) и \(BM^2 = BP \cdot BQ\).
Следовательно, \(CN^2 = BM^2\). Поскольку длины отрезков положительны, то \(CN = BM\).
Теперь рассмотрим отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности. Отрезки касательных, проведенных из вершины A к окружности, равны, то есть \(AM = AN\).
Рассмотрим длины сторон треугольника ABC.
Сторона AB состоит из отрезков AM и MB, то есть \(AB = AM + MB\).
Сторона AC состоит из отрезков AN и NC, то есть \(AC = AN + NC\).
Мы установили, что \(AM = AN\) и \(BM = CN\).
Подставим эти равенства в выражения для сторон AB и AC:
\(AB = AM + BM\)
\(AC = AN + CN\)
Поскольку \(AM = AN\) и \(BM = CN\), мы можем записать:
\(AB = AN + CN\)
\(AC = AN + CN\)
Следовательно, \(AB = AC\).
Так как две стороны треугольника ABC равны (\(AB = AC\)), то треугольник ABC является равнобедренным по определению равнобедренного треугольника.
Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.