Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 819 Атанасян — Подробные Ответы
Точка М лежит внутри четырёхугольника ABCD. Докажите, что \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\) тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников ABM и MCD, имеют в точке М общую касательную.
Через точку \(M\) проведем прямую \(ME\). Если \(ME\) является касательной к окружности, описанной около \(\triangle ABM\), то по теореме об угле между касательной и хордой имеем \(\angle AME = \angle ABM\). Если эта же прямая \(ME\) является касательной к окружности, описанной около \(\triangle MCD\), то аналогично \(\angle DME = \angle MCD\). Тогда \(\angle AMD = \angle AME + \angle DME = \angle ABM + \angle MCD\). Обратно, если \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\), и \(\angle AME = \angle ABM\), то \(\angle DME = \angle AMD — \angle AME = (\angle ABM + \angle MCD) — \angle ABM = \angle MCD\). Поскольку \(\angle AME = \angle ABM\) и \(\angle DME = \angle MCD\), прямая \(ME\) по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, является касательной к обеим окружностям в точке \(M\).
Дано: четырехугольник \(ABCD\), точка \(M\) лежит внутри \(ABCD\).
Доказать: \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\) тогда и только тогда, когда окружности, описанные около \(\triangle ABM\) и \(\triangle MCD\), имеют в точке \(M\) общую касательную.
Доказательство:
Прямое утверждение: Предположим, что окружности, описанные около \(\triangle ABM\) и \(\triangle MCD\), имеют в точке \(M\) общую касательную. Обозначим эту касательную прямую \(ME\), где точка \(E\) лежит на этой прямой.
По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной \(ME\) и хордой \(AM\) окружности, описанной около \(\triangle ABM\), равен углу, опирающемуся на эту хорду в окружности. Таким образом, \(\angle AME = \angle ABM\).
Аналогично, для окружности, описанной около \(\triangle MCD\), угол между касательной \(ME\) и хордой \(MD\) равен углу, опирающемуся на эту хорду. Следовательно, \(\angle DME = \angle MCD\).
Угол \(\angle AMD\) является суммой углов \(\angle AME\) и \(\angle DME\). То есть, \(\angle AMD = \angle AME + \angle DME\). Подставляя полученные равенства, имеем \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\). Таким образом, прямое утверждение доказано.
Обратное утверждение: Предположим, что \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\). Проведем через точку \(M\) прямую \(ME\) такую, что \(\angle AME = \angle ABM\).
По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, если угол между прямой \(ME\) и хордой \(AM\) равен углу \(\angle ABM\), который опирается на эту хорду в окружности, описанной около \(\triangle ABM\), то прямая \(ME\) является касательной к этой окружности в точке \(M\).
Теперь рассмотрим угол \(\angle DME\). Из условия \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\) и построения \(\angle AME = \angle ABM\), следует, что \(\angle DME = \angle AMD — \angle AME\). Подставляя значения, получаем \(\angle DME = (\angle ABM + \angle MCD) — \angle ABM = \angle MCD\).
Таким образом, угол между прямой \(ME\) и хордой \(MD\) равен \(\angle MCD\). Угол \(\angle MCD\) является углом, опирающимся на хорду \(MD\) в окружности, описанной около \(\triangle MCD\). По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, если угол между прямой \(ME\) и хордой \(MD\) равен углу \(\angle MCD\), опирающемуся на эту хорду, то прямая \(ME\) является касательной к окружности, описанной около \(\triangle MCD\), в точке \(M\).
Поскольку прямая \(ME\) является касательной как к окружности, описанной около \(\triangle ABM\), так и к окружности, описанной около \(\triangle MCD\), в точке \(M\), то \(ME\) является общей касательной к этим двум окружностям в точке \(M\). Таким образом, обратное утверждение также доказано.
Следовательно, \(\angle AMD = \angle ABM + \angle MCD\) тогда и только тогда, когда окружности, описанные около \(\triangle ABM\) и \(\triangle MCD\), имеют в точке \(M\) общую касательную.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.