Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 816 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла СВЕ.
Угол между ВЕ и хордой ВА: \(\angle ABE = \frac{1}{2}\) дуги BA; \(\angle ABE = \frac{1}{2}\angle AOB\). В равнобедренном \(\triangle BOC\): OB = OC, OD \(\perp\) BC, \(\angle DOC = \angle DOB\). Угол между хордой ВС и лучом ВА: \(\angle ABC = \frac{1}{2}\) дуги AC = \(\frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}\angle BOA\). \(\angle ABE = \angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOB\). Что и требовалось доказать.
Угол между касательной ВЕ и хордой ВА, проведенной из точки касания В, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, то есть дуги ВА. Угловая величина дуги ВА равна центральному углу, опирающемуся на эту дугу, то есть \(\angle BOA\). Следовательно, \(\angle ABE = \frac{1}{2}\) дуги ВА = \(\frac{1}{2}\angle BOA\).
Рассмотрим треугольник ВОС. Отрезки ОВ и ОС являются радиусами окружности с центром в точке О, поэтому ОВ = ОС. Следовательно, треугольник ВОС является равнобедренным с основанием ВС. По условию, ВС перпендикулярно ОА, и точка D является точкой пересечения ВС и ОА. Таким образом, отрезок OD является высотой в равнобедренном треугольнике ВОС, проведенной к основанию ВС. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, OD делит угол ВОС пополам, то есть \(\angle BOD = \angle COD\).
Поскольку отрезок ОА перпендикулярен хорде ВС и проходит через центр окружности О, прямая, содержащая ОА, является осью симметрии для хорды ВС и соответствующей дуги ВС. Следовательно, дуга АВ равна дуге АС.
Поскольку дуга АВ равна дуге АС, центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны. Центральным углом, опирающимся на дугу АВ, является \(\angle АОВ\), а центральным углом, опирающимся на дугу АС, является \(\angle АОС\). Следовательно, \(\angle АОВ = \angle АОС\).
Угол АВС является вписанным углом, опирающимся на дугу АС. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, \(\angle ABC = \frac{1}{2}\) дуги АС.
Поскольку дуга АС равна центральному углу \(\angle АОС\), мы имеем \(\angle ABC = \frac{1}{2}\angle АОС\). Используя тот факт, что \(\angle АОС = \angle АОВ\), мы можем записать \(\angle ABC = \frac{1}{2}\angle АОВ\).
Мы получили два выражения: \(\angle ABE = \frac{1}{2}\angle АОВ\) и \(\angle ABC = \frac{1}{2}\angle АОВ\). Из этих равенств следует, что \(\angle ABE = \angle ABC\).
Углы \(\angle ABE\) и \(\angle ABC\) равны, и луч ВА находится между лучами ВЕ и ВС. Следовательно, луч ВА является биссектрисой угла СВЕ. Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.