Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 811 Атанасян — Подробные Ответы
В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.
Объем конуса равен \( V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), объем шара равен \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Отношение объемов \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^2 h}{4R^3} \). Площадь поверхности конуса равна \( S_{кон} = \pi r^2 + \pi rl \), площадь поверхности шара равна \( S_{шара} = 4\pi R^2 \). Отношение площадей поверхностей \( \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{\pi r^2 + \pi rl}{4\pi R^2} = \frac{r(r+l)}{4R^2} \). Из подобия треугольников следует соотношение \( rh = (r+l)R \). Подставим это соотношение в выражение для отношения объемов: \( \frac{r^2 h}{4R^3} = \frac{r(rh)}{4R^3 R} = \frac{r((r+l)R)}{4R^4} = \frac{r(r+l)}{4R^3} \). Здесь допущена ошибка в переходе в примере из изображения. Правильный переход: из \( rh = (r+l)R \) выразим \( h = \frac{(r+l)R}{r} \). Подставим в отношение объемов: \( \frac{r^2 h}{4R^3} = \frac{r^2 \frac{(r+l)R}{r}}{4R^3} = \frac{r(r+l)R}{4R^3} = \frac{r(r+l)}{4R^2} \). Таким образом, \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{r(r+l)}{4R^2} \) и \( \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{r(r+l)}{4R^2} \), следовательно \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}} \).
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным треугольником AMB. В этот треугольник вписана окружность с центром O и радиусом R, являющаяся осевым сечением вписанного шара. Опустим высоту конуса MH на основание AB. Высота конуса \( h = MH \), радиус основания конуса \( r = AH = HB \), образующая конуса \( l = AM = MB \). Центр вписанной окружности O лежит на высоте MH. Радиус вписанной окружности \( R = OH \). Расстояние от вершины конуса до центра шара равно \( MO = MH — OH = h — R \).
Найдем площади поверхности конуса и шара. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{кон} = \pi r^2 + \pi rl = \pi r (r + l) \). Площадь поверхности шара равна \( S_{шара} = 4\pi R^2 \). Найдем отношение площадей поверхностей: \( \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{\pi r (r + l)}{4\pi R^2} = \frac{r (r + l)}{4R^2} \).
Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \Delta AMH \) и \( \Delta MOK \), где K — точка касания образующей AM и вписанной окружности. Угол \( \angle AMH \) является общим для этих треугольников. Угол \( \angle MHA = 90^\circ \) и \( \angle MKO = 90^\circ \), так как OK — радиус, проведенный в точку касания. Таким образом, треугольники \( \Delta AMH \) и \( \Delta MOK \) подобны по двум углам. Из подобия следует отношение соответствующих сторон: \( \frac{AH}{OK} = \frac{AM}{MO} \). Подставляя известные значения, получаем \( \frac{r}{R} = \frac{l}{h — R} \).
Из пропорции \( \frac{r}{R} = \frac{l}{h — R} \) следует \( r(h — R) = lR \). Раскрывая скобки, получаем \( rh — rR = lR \). Перенося член \( rR \) в правую часть, имеем \( rh = lR + rR = R(l + r) \). Это ключевое соотношение между радиусом основания конуса, высотой конуса, образующей конуса и радиусом шара.
Теперь найдем объемы конуса и шара. Объем конуса равен \( V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \). Объем шара равен \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Найдем отношение объемов: \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^2 h}{4R^3} \). Используем полученное ранее соотношение \( rh = R(l + r) \). Из этого соотношения выразим \( h = \frac{R(l + r)}{r} \). Подставим это выражение для h в формулу отношения объемов: \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{r^2 \left( \frac{R(l + r)}{r} \right)}{4R^3} = \frac{r R (l + r)}{4R^3} = \frac{r (l + r)}{4R^2} \).
Сравнивая отношение объемов \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{r (l + r)}{4R^2} \) и отношение площадей поверхностей \( \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{r (r + l)}{4R^2} \), видим, что они равны. Таким образом, \( \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}} \), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.