Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 809 Атанасян — Подробные Ответы
Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.
Направим оси координат: \(OX\) вдоль оси первого цилиндра, \(OZ\) вдоль оси второго цилиндра, \(OY\) перпендикулярно к \(OX\) и \(OZ\). Цилиндры пересекают оси координат на расстоянии, равном их радиусу \(1\) см, тогда уравнения ребер искомого тела имеют вид: \(x^2 + z^2 = 1\), \(y^2 + x^2 = 1\), \(z = y = \sqrt{1 — x^2}\). Сечением тела в первой октанте является квадрат со стороной \(1 — x^2\), тогда его объем \(V_1\) равен интегралу от \(0\) до \(1\) от \((1 — x^2) dx\). Вычисляя интеграл, получаем \(V_1 = \int_0^1 (1 — x^2) dx = [x — \frac{x^3}{3}]_0^1 = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Общий объем \(V\) равен \(8 \cdot V_1 = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}\). Ответ: \(V = 5 \frac{1}{3}\) см³.
Даны два равных цилиндра с радиусом \(r = 1\) см, оси которых пересекаются под прямым углом. Требуется найти объем общей части этих цилиндров.
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось \(OX\) вдоль оси первого цилиндра, ось \(OZ\) вдоль оси второго цилиндра, а ось \(OY\) перпендикулярно плоскости, образованной осями \(OX\) и \(OZ\).
Поскольку оси цилиндров проходят через начало координат и их радиус равен \(1\), уравнения цилиндров будут иметь вид:
Первый цилиндр с осью \(OX\): \(y^2 + z^2 = r^2\), что при \(r=1\) дает \(y^2 + z^2 = 1\).
Второй цилиндр с осью \(OZ\): \(x^2 + y^2 = r^2\), что при \(r=1\) дает \(x^2 + y^2 = 1\).
Общая часть цилиндров определяется системой неравенств, описывающих внутренности обоих цилиндров: \(y^2 + z^2 \le 1\) и \(x^2 + y^2 \le 1\).
Рассмотрим сечение общей части плоскостью, перпендикулярной оси \(OX\) при фиксированном значении \(x\). Из уравнения второго цилиндра \(x^2 + y^2 = 1\), мы имеем \(y^2 = 1 — x^2\), что дает \(|y| = \sqrt{1 — x^2}\). Это означает, что \(y\) изменяется от \(-\sqrt{1 — x^2}\) до \(\sqrt{1 — x^2}\).
Из уравнения первого цилиндра \(y^2 + z^2 = 1\), мы имеем \(z^2 = 1 — y^2\), что дает \(|z| = \sqrt{1 — y^2}\). Поскольку \(y^2 \le 1 — x^2\), то \(1 — y^2 \ge 1 — (1 — x^2) = x^2\), и \(1 — y^2 \le 1\). Таким образом, для данного \(x\), сечение ограничено условиями \(|y| \le \sqrt{1 — x^2}\) и \(|z| \le \sqrt{1 — y^2}\).
В первой октанте (\(x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\)), уравнения цилиндров принимают вид \(z = \sqrt{1 — y^2}\) и \(y = \sqrt{1 — x^2}\). Подставляя \(y\) из второго уравнения в первое, получаем \(z = \sqrt{1 — (\sqrt{1 — x^2})^2} = \sqrt{1 — (1 — x^2)} = \sqrt{x^2} = x\), но это не совсем корректно описывает сечение.
Вернемся к условиям \(y^2 + z^2 \le 1\) и \(x^2 + y^2 \le 1\). В первой октанте это \(y \ge 0, z \ge 0, y^2 + z^2 \le 1, x^2 + y^2 \le 1\).
Рассмотрим сечение при постоянном \(x\). Из \(x^2 + y^2 \le 1\), получаем \(y^2 \le 1 — x^2\), или \(0 \le y \le \sqrt{1 — x^2}\) в первой октанте. Из \(y^2 + z^2 \le 1\), получаем \(z^2 \le 1 — y^2\), или \(0 \le z \le \sqrt{1 — y^2}\).
Для фиксированного \(x\), \(y\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\). Для каждого такого \(y\), \(z\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\).
Однако, более простой способ — рассмотреть сечение плоскостью \(x = \text{const}\). В этой плоскости, из \(x^2 + y^2 = 1\), мы имеем \(y = \sqrt{1 — x^2}\) (в первой октанте). Из \(y^2 + z^2 = 1\), мы имеем \(z = \sqrt{1 — y^2}\). Поскольку \(y = \sqrt{1 — x^2}\) для данного сечения, то \(z = \sqrt{1 — (\sqrt{1 — x^2})^2} = \sqrt{1 — (1 — x^2)} = \sqrt{x^2}\). В первой октанте \(x \ge 0\), поэтому \(z = x\).
Это неверное рассуждение.
Правильный подход: рассмотрим сечение тела в первой октанте плоскостью, перпендикулярной оси \(OX\) на расстоянии \(x\) от начала координат. Из уравнения \(x^2 + y^2 = 1\), в первой октанте \(y = \sqrt{1 — x^2}\). Из уравнения \(y^2 + z^2 = 1\), в первой октанте \(z = \sqrt{1 — y^2}\). Для данного \(x\), \(y\) может принимать значения от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\). Для каждого такого \(y\), \(z\) может принимать значения от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\).
Однако, сечение общей части цилиндров плоскостью \(x = \text{const}\) в первой октанте ограничено условиями \(y \le \sqrt{1 — x^2}\) и \(z \le \sqrt{1 — y^2}\). Также \(y \ge 0\) и \(z \ge 0\).
Рассмотрим проекцию общей части на плоскость \(OXY\). Она определяется неравенством \(x^2 + y^2 \le 1\). Проекция на плоскость \(OXZ\) определяется неравенством \(x^2 + z^2 \le 1\). Проекция на плоскость \(OYZ\) определяется неравенством \(y^2 + z^2 \le 1\).
В первой октанте, тело ограничено поверхностями \(x^2 + y^2 = 1\) и \(y^2 + z^2 = 1\), а также координатными плоскостями.
Рассмотрим сечение плоскостью \(x = \text{const}\) в первой октанте. Из \(x^2 + y^2 \le 1\), получаем \(0 \le y \le \sqrt{1 — x^2}\). Из \(y^2 + z^2 \le 1\), получаем \(0 \le z \le \sqrt{1 — y^2}\).
Для фиксированного \(x\), \(y\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\). Для каждого такого \(y\), \(z\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\).
Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной оси \(OX\). В этой плоскости, из \(x^2 + y^2 = 1\), получаем \(y = \sqrt{1 — x^2}\) (для первой октанты). Из \(y^2 + z^2 = 1\), получаем \(z = \sqrt{1 — y^2}\).
Для данного \(x\), \(y\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\). Сечение в плоскости \(x = \text{const}\) в первой октанте ограничено линиями \(y = \sqrt{1 — x^2}\) и \(z = \sqrt{1 — y^2}\).
При \(y = \sqrt{1 — x^2}\), \(z = \sqrt{1 — (1 — x^2)} = \sqrt{x^2} = x\).
При \(y = 0\), \(z = \sqrt{1 — 0^2} = 1\).
При \(z = 0\), \(y = \sqrt{1 — 0^2} = 1\).
Рассмотрим сечение в первой октанте плоскостью \(x = \text{const}\). Граница сечения определяется условиями \(y^2 + z^2 \le 1\) и \(y \le \sqrt{1 — x^2}\), \(y \ge 0\), \(z \ge 0\).
Из \(y \le \sqrt{1 — x^2}\), максимальное значение \(y\) равно \(\sqrt{1 — x^2}\). При этом \(z \le \sqrt{1 — y^2}\).
Когда \(y = \sqrt{1 — x^2}\), \(z \le \sqrt{1 — (1 — x^2)} = x\).
Когда \(y = 0\), \(z \le \sqrt{1 — 0} = 1\).
Сечение в первой октанте плоскостью \(x = \text{const}\) представляет собой часть круга \(y^2 + z^2 = 1\) в первом квадранте плоскости \(OYZ\), ограниченную линией \(y = \sqrt{1 — x^2}\).
Вернемся к утверждению в задаче: «Сечением тела в первой октанте является квадрат со стороной \(1 — x^2\)». Это неверно. Сечение имеет сторону, зависящую от \(x\).
Рассмотрим сечение плоскостью \(x = \text{const}\). В первой октанте, \(y\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\), и \(z\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\).
Область интегрирования по \(y\) и \(z\) для фиксированного \(x\) в первой октанте определяется условиями \(0 \le y \le \sqrt{1 — x^2}\) и \(0 \le z \le \sqrt{1 — y^2}\).
Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через ось \(OX\) и перпендикулярной плоскости \(OYZ\). В этой плоскости, сечение общей части представляет собой квадрат.
Рассмотрим сечение плоскостью \(y=x\). Тогда \(x^2 + z^2 = 1\) и \(x^2 + x^2 = 1\), \(2x^2 = 1\), \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Рассмотрим сечение в первой октанте плоскостью \(x = \text{const}\). Из \(x^2 + y^2 = 1\), \(y = \sqrt{1 — x^2}\). Из \(y^2 + z^2 = 1\), \(z = \sqrt{1 — y^2}\).
Для фиксированного \(x\), \(y\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — x^2}\). Для каждого такого \(y\), \(z\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\).
Рассмотрим сечение плоскостью \(y = \text{const}\). Из \(x^2 + y^2 = 1\), \(x = \sqrt{1 — y^2}\). Из \(y^2 + z^2 = 1\), \(z = \sqrt{1 — y^2}\).
В первой октанте, при фиксированном \(y\), \(x\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\), и \(z\) изменяется от \(0\) до \(\sqrt{1 — y^2}\). Сечение плоскостью \(y = \text{const}\) в первой октанте является квадратом со стороной \(\sqrt{1 — y^2}\).
Объем \(V_1\) части в первой октанте можно найти интегрированием площади этого квадратного сечения по \(y\) от \(0\) до \(1\) (максимальное значение \(y\) из \(y^2 + z^2 = 1\) или \(x^2 + y^2 = 1\)).
Площадь сечения при постоянном \(y\) равна \((\sqrt{1 — y^2})^2 = 1 — y^2\).
\(V_1 = \int_0^1 (1 — y^2) dy\).
Вычислим интеграл:
\(V_1 = [y — \frac{y^3}{3}]_0^1 = (1 — \frac{1^3}{3}) — (0 — \frac{0^3}{3}) = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Общий объем \(V\) общей части цилиндров в 8 раз больше объема в первой октанте из-за симметрии относительно координатных плоскостей.
\(V = 8 \cdot V_1 = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}\).
Представим \(\frac{16}{3}\) в виде смешанной дроби:
\(\frac{16}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3} = 5 \frac{1}{3}\).
Таким образом, объем общей части цилиндров равен \(5 \frac{1}{3}\) см³.
Ответ: \(V = 5 \frac{1}{3}\) см³.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.