Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 806 Атанасян — Подробные Ответы
Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок AB, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объём тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D
Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(B\), и \(C\). Поскольку точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(b\), а точка \(C\) на прямой \(c\), и прямые \(b\) и \(c\) параллельны, плоскость \(\alpha\) определяется прямыми \(b\) и \(c\), и ее положение не зависит от конкретного выбора точки \(C\) на прямой \(c\). Прямая \(d\) параллельна прямым \(b\) и \(c\), следовательно, прямая \(d\) параллельна плоскости \(\alpha\). Высота \(DH\) от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) (плоскости \(\alpha\)) является расстоянием между прямой \(d\) и плоскостью \(\alpha\). Поскольку \(d \parallel \alpha\), это расстояние постоянно для любой точки \(D\) на прямой \(d\), то есть \(DH\) не зависит от положения точки \(D\). Площадь треугольника \(ABC\), \(S_{ABC}\), может быть найдена как \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C\), где \(h_C\) — высота, опущенная из точки \(C\) на прямую \(b\). Поскольку прямые \(b\) и \(c\) параллельны, расстояние между ними постоянно, и эта высота \(h_C\) не зависит от положения точки \(C\) на прямой \(c\). Таким образом, \(S_{ABC}\) не зависит от положения точки \(C\). Объем тетраэдра \(ABCD\) равен \(V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DH\). Поскольку \(S_{ABC}\) не зависит от \(C\), а \(DH\) не зависит от \(D\), объем \(V_{ABCD}\) не зависит от положения точек \(C\) и \(D\). Что и требовалось доказать.
Дано, что прямые \(b\), \(c\), и \(d\) параллельны друг другу. Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(b\), точка \(C\) лежит на прямой \(c\), и точка \(D\) лежит на прямой \(d\). Необходимо доказать, что объем тетраэдра \(ABCD\), обозначаемый как \(V_{ABCD}\), не зависит от конкретного положения точек \(C\) и \(D\) на соответствующих прямых.
Для доказательства рассмотрим шаги.
Первый шаг заключается во введении плоскостей. Пусть плоскость \(\beta\) проходит через параллельные прямые \(c\) и \(d\). Пусть плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(B\) и \(C\).
Второй шаг анализирует плоскость \(\alpha\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(b\). Точка \(C\) принадлежит прямой \(c\). Поскольку прямые \(b\) и \(c\) параллельны, плоскость \(\alpha\), содержащая прямую \(b\) (через точки \(A\) и \(B\)) и проходящая через точку \(C\) на прямой \(c\), однозначно определяется этими параллельными прямыми. Таким образом, положение плоскости \(\alpha\) не меняется при перемещении точки \(C\) вдоль прямой \(c\). Следовательно, плоскость \(\alpha\) не зависит от положения точки \(C\).
Третий шаг устанавливает отношение между прямой \(d\) и плоскостью \(\alpha\). Дано, что прямая \(d\) параллельна прямой \(b\), и прямая \(b\) параллельна прямой \(c\). Из свойства транзитивности параллельности прямых следует, что прямая \(d\) также параллельна прямой \(c\). Поскольку плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(b\) и параллельна прямой \(c\) (так как \(b \parallel c\) и \(C \in c\)), и при этом прямая \(d\) параллельна как \(b\), так и \(c\), то прямая \(d\) должна быть параллельна плоскости \(\alpha\).
Четвертый шаг рассматривает высоту тетраэдра. Объем тетраэдра может быть вычислен по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h_{высота}\). Рассмотрим треугольник \(ABC\) как основание тетраэдра \(ABCD\). Высота тетраэдра, опущенная из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\), есть перпендикуляр \(DH\) к плоскости \(\alpha\), содержащей треугольник \(ABC\). Поскольку прямая \(d\), на которой лежит точка \(D\), параллельна плоскости \(\alpha\), расстояние от любой точки на прямой \(d\) до плоскости \(\alpha\) является постоянной величиной. Следовательно, длина высоты \(DH\) не зависит от конкретного положения точки \(D\) на прямой \(d\).
Пятый шаг анализирует площадь основания. Площадь треугольника \(ABC\), \(S_{ABC}\), может быть найдена как половина произведения длины стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Возьмем сторону \(AB\). \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C, AB}\), где \(h_{C, AB}\) — высота, опущенная из точки \(C\) на прямую \(AB\). Поскольку точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(b\), прямая \(AB\) совпадает с прямой \(b\). Таким образом, \(h_{C, AB}\) есть расстояние от точки \(C\) на прямой \(c\) до прямой \(b\). Так как прямые \(b\) и \(c\) параллельны, расстояние между ними постоянно. Следовательно, высота \(h_{C, AB}\) не зависит от положения точки \(C\) на прямой \(c\). Длина отрезка \(AB\) фиксирована, так как \(A\) и \(B\) — заданные точки на прямой \(b\). Поэтому площадь основания \(S_{ABC}\) не зависит от положения точки \(C\).
Наконец, объединяя результаты, объем тетраэдра \(V_{ABCD}\) дается формулой \(V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DH\). Мы показали, что площадь основания \(S_{ABC}\) не зависит от положения точки \(C\), а высота \(DH\) не зависит от положения точки \(D\). Следовательно, произведение \(S_{ABC} \cdot DH\) является постоянной величиной, и объем \(V_{ABCD}\) не зависит от положения точек \(C\) и \(D\). Это завершает доказательство.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.