Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 802 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости AB1C1 и А ВС разбивают треугольную призму ABCA1B1C1 на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.
Достроим тетраэдр до параллелепипеда, построенного на ребрах, параллельных \(AB\), \(CD_1\) и перпендикулярных им. Длины этих ребер равны \(a\), \(b\), и \(c\) соответственно. Угол между ребрами длиной \(a\) и \(b\) равен \(\phi\). Площадь грани параллелепипеда, образованной векторами, параллельными \(AB\) и \(CD_1\), равна \(ab \sin \phi\). Высота параллелепипеда, опущенная на эту грань, равна расстоянию между \(AB\) и \(CD_1\), то есть \(c\). Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, что составляет \(V_{\text{парал}} = (ab \sin \phi) \cdot c = abc \sin \phi\). Объем данного тетраэдра составляет \(\frac{1}{6}\) объема этого параллелепипеда. Следовательно, \(V_{\text{тетр}} = \frac{1}{6} V_{\text{парал}} = \frac{1}{6} abc \sin \phi\). Что и требовалось доказать.
Для начала, представим, что данный тетраэдр можно достроить до параллелепипеда. Этот параллелепипед построен на трех ребрах, которые параллельны \(AB\), \(CD_1\) и перпендикулярны им. Длины этих ребер обозначим как \(a\), \(b\), и \(c\) соответственно. Пусть угол между ребрами длиной \(a\) и \(b\) равен \(\phi\). Площадь грани этого параллелепипеда, которая образована векторами, параллельными \(AB\) и \(CD_1\), может быть найдена как произведение длин этих векторов на синус угла между ними, то есть \(ab \sin \phi\). Высота параллелепипеда, опущенная на эту грань, равна расстоянию между прямыми \(AB\) и \(CD_1\), которое по условию равно \(c\). Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Таким образом, объем параллелепипеда составляет \(V_{\text{парал}} = (ab \sin \phi) \cdot c = abc \sin \phi\). Известно, что объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах, исходящих из одной вершины, составляет одну шестую объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. В данном случае, объем тетраэдра составляет \(\frac{1}{6}\) объема построенного параллелепипеда. Следовательно, объем тетраэдра равен \(V_{\text{тетр}} = \frac{1}{6} V_{\text{парал}} = \frac{1}{6} abc \sin \phi\). Таким образом, мы получили формулу для объема тетраэдра, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.