Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 799 Атанасян — Подробные Ответы
Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?
Расстояние между точками касания двух окружностей радиусами \(r_i\) и \(r_j\), касающихся общей прямой, равно \(2\sqrt{r_i r_j}\). Для трех окружностей радиусами \(r_1, r_2, r_3\), касающихся общей прямой, точки касания \(A_1, A_2, A_3\) лежат на одной прямой. Если предположить, что \(r_1 \ge r_2 \ge r_3\), то точки касания расположены в порядке \(A_1, A_3, A_2\), и выполняется соотношение \(A_1A_2 = A_1A_3 + A_3A_2\). Подставляя выражения для расстояний, получаем \(2\sqrt{r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3}\). Разделив на 2, имеем \(\sqrt{r_1r_2} = \sqrt{r_1r_3} + \sqrt{r_2r_3}\). Вынося \(\sqrt{r_3}\) за скобки в правой части, получаем \(\sqrt{r_1r_2} = \sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})\). Выражая \(\sqrt{r_3}\), находим \(\sqrt{r_3} = \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}\). Возводя обе части в квадрат, получаем радиус \(r_3\): \(r_3 = \frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2}\).
Даны три окружности с центрами \(O_1, O_2, O_3\) и радиусами \(r_1, r_2, r_3\) соответственно. Эти окружности касаются друг друга и общей прямой. Требуется найти соотношение между радиусами, при котором это возможно.
Рассмотрим две окружности с радиусами \(r_i\) и \(r_j\), которые касаются общей внешней касательной. Расстояние между точками касания этих окружностей на прямой можно найти, рассмотрев прямоугольную трапецию, образованную центрами окружностей, точками касания и перпендикуляром из центра меньшей окружности на радиус большей окружности. Гипотенуза этой трапеции равна сумме радиусов \(r_i + r_j\), один катет равен разности радиусов \(|r_i — r_j|\), а другой катет равен расстоянию между точками касания. По теореме Пифагора, расстояние между точками касания равно \(\sqrt{(r_i + r_j)^2 — (r_i — r_j)^2} = \sqrt{r_i^2 + 2r_i r_j + r_j^2 — (r_i^2 — 2r_i r_j + r_j^2)} = \)
\(=\sqrt{r_i^2 + 2r_i r_j + r_j^2 — r_i^2 + 2r_i r_j — r_j^2} = \sqrt{4r_i r_j} = 2\sqrt{r_i r_j}\).
Пусть точки касания окружностей с радиусами \(r_1, r_2, r_3\) на общей прямой будут \(A_1, A_2, A_3\) соответственно. Расстояние между точками касания окружностей с радиусами \(r_1\) и \(r_2\) равно \(A_1A_2 = 2\sqrt{r_1r_2}\). Аналогично, расстояние между точками касания окружностей с радиусами \(r_1\) и \(r_3\) равно \(A_1A_3 = 2\sqrt{r_1r_3}\), а расстояние между точками касания окружностей с радиусами \(r_2\) и \(r_3\) равно \(A_2A_3 = 2\sqrt{r_2r_3}\).
Все точки касания \(A_1, A_2, A_3\) лежат на одной прямой (общей касательной). Если предположить, что радиусы упорядочены как \(r_1 \ge r_2 \ge r_3\), то на прямой точки касания будут расположены в порядке \(A_1, A_3, A_2\). В этом случае расстояние между крайними точками равно сумме расстояний между промежуточными точками: \(A_1A_2 = A_1A_3 + A_3A_2\).
Подставляя выражения для расстояний, получаем уравнение: \(2\sqrt{r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3}\).
Разделим обе части уравнения на 2: \(\sqrt{r_1r_2} = \sqrt{r_1r_3} + \sqrt{r_2r_3}\).
Вынесем \(\sqrt{r_3}\) за скобки в правой части уравнения: \(\sqrt{r_1r_2} = \sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})\).
Чтобы найти \(r_3\), сначала выразим \(\sqrt{r_3}\): \(\sqrt{r_3} = \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}\).
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы получить \(r_3\): \((\sqrt{r_3})^2 = \left(\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}\right)^2\).
Это дает окончательное выражение для \(r_3\): \(r_3 = \frac{(\sqrt{r_1r_2})^2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2} = \frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2}\).
Таким образом, радиусы окружностей, касающихся друг друга и общей прямой, связаны соотношением \(r_3 = \frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})^2}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.