Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 798 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдр с высотами \(h_1, h_2, h_3, h_4\) вписан шар радиуса R. Докажите, что \(R = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4})\).
Объем данного тетраэдра равен \( V = \frac{1}{3} S_i h_i \), где \( S_i \) — площадь \(i\)-й грани, а \( h_i \) — высота, опущенная на эту грань. Отсюда следует, что \( \frac{S_i}{3} = \frac{V}{h_i} \) для \( i = 1, 2, 3, 4 \). Точка \(O\), центр вписанной сферы радиуса \(R\), делит тетраэдр на четыре меньших тетраэдра, основаниями которых являются грани исходного тетраэдра, а высоты равны \(R\). Объем исходного тетраэдра равен сумме объемов этих четырех тетраэдров: \( V = \frac{1}{3} S_1 R + \frac{1}{3} S_2 R + \frac{1}{3} S_3 R + \frac{1}{3} S_4 R = \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{3} S_i R \). Подставляя выражение для \( \frac{1}{3} S_i \) из первого соотношения, получаем \( V = \sum_{i=1}^{4} \frac{V}{h_i} R = VR \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{h_i} \). Поскольку \( V \neq 0 \), можно разделить обе части на \( VR \), откуда следует \( \frac{1}{R} = \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{h_i} \), что равносильно \( \frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \). Это и требовалось доказать.
Дано: тетраэдр с высотами \(h_1, h_2, h_3, h_4\), опущенными на соответствующие грани, и вписанная сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\).
Требуется доказать: \( \frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \).
Доказательство:
Объем \(V\) данного тетраэдра может быть выражен через площадь любой его грани \(S_i\) и соответствующую высоту \(h_i\), опущенную на эту грань, по формуле \( V = \frac{1}{3} S_i h_i \), где \(i\) принимает значения от 1 до 4, обозначая каждую из четырех граней тетраэдра. Из этой формулы мы можем выразить отношение площади грани к трем: \( \frac{S_i}{3} = \frac{V}{h_i} \). Это соотношение будет использовано далее.
Точка \(O\), являющаяся центром вписанной сферы, находится на одинаковом расстоянии \(R\) от всех граней тетраэдра. Эта точка делит исходный тетраэдр на четыре меньших тетраэдра. Основанием каждого из этих меньших тетраэдров является одна из граней исходного тетраэдра, а вершиной является точка \(O\). Высота каждого такого меньшего тетраэдра, опущенная из вершины \(O\) на соответствующую грань, равна радиусу вписанной сферы \(R\).
Объем исходного тетраэдра \(V\) равен сумме объемов этих четырех меньших тетраэдров. Объем \(i\)-го меньшего тетраэдра с основанием \(S_i\) и высотой \(R\) равен \( \frac{1}{3} S_i R \). Следовательно, общий объем тетраэдра выражается как сумма объемов этих четырех тетраэдров:
\( V = \frac{1}{3} S_1 R + \frac{1}{3} S_2 R + \frac{1}{3} S_3 R + \frac{1}{3} S_4 R \).
Эту сумму можно записать с использованием знака суммирования:
\( V = \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{3} S_i R \).
Теперь подставим в эту формулу выражение для \( \frac{1}{3} S_i \) из соотношения \( \frac{S_i}{3} = \frac{V}{h_i} \), полученного в начале доказательства. Заменяя \( \frac{1}{3} S_i \) на \( \frac{V}{h_i} \), получаем:
\( V = \sum_{i=1}^{4} \frac{V}{h_i} R \).
Вынесем общие множители \(V\) и \(R\) за знак суммирования:
\( V = VR \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{h_i} \).
Поскольку объем тетраэдра \(V\) не равен нулю, мы можем разделить обе части этого уравнения на \(V\). Получаем:
\( 1 = R \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{h_i} \).
Разделив обе части на \(R\), окончательно получаем:
\( \frac{1}{R} = \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{h_i} \).
Расписывая сумму, получаем требуемое соотношение:
\( \frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \).
Таким образом, мы доказали, что величина, обратная радиусу вписанной сферы тетраэдра, равна сумме величин, обратных длинам высот тетраэдра, опущенных на его грани.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.