ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 797 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые

Дано: сфера с центром в точке \(O\) радиуса \(R\).
Найти: все точки, из которых можно провести к сфере три перпендикулярные касательные.
Решение:
Рассмотрим точку \(D\) — одну из подходящих точек. Касательные, проведенные из этой точки \(DA\), \(DB\) и \(DC\).
Поскольку \(AO = OB = OC = R\) и \(OA \perp DA\), \(OB \perp DB\), \(OC \perp DC\), а \(DO\) — общая гипотенуза, то \(\triangle ADO = \triangle BDO = \triangle CDO\). Следовательно, \(DA = DB = DC\). Также \(\triangle ADB = \triangle BDC = \triangle ADC\), поэтому \(AB = BC = AC\).
Отметим точку \(H\) — центр \(\triangle ABC\). В правильной призме \(ABCD\): \(DH \perp ABC\) и \(OH \perp ABC\), значит \(H \in DO\).
В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2AD^2} = DA\sqrt{2}\). Пусть \(DA = a\), тогда \(AB = a\sqrt{2}\).
В равностороннем \(\triangle ABC\): \(AH = R_{опис}\); \(AB = AH\sqrt{3}\); \(AH = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
Прямоугольные треугольники \(\triangle ODA \sim \triangle HAD\), поэтому \(\frac{R_{сф}}{DO} = \frac{AH}{AD} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}\). Отсюда \(DO = \frac{\sqrt{3}R}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}R\sqrt{6}\).
Множеством всех таких точек является сфера, центр которой совпадает с центром данной сферы, радиус равен \(R\sqrt{6}/2\).

on the line passing through \(H\) and perpendicular to the plane \((ABC)\) because \(A,B,C\) are points of tangencyЗадача состоит в том, чтобы найти геометрическое место точек \(D\), из которых можно провести три взаимно перпендикулярные касательные к данной сфере с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\).

Пусть \(D\) — одна из таких искомых точек. Проведем из точки \(D\) три касательные \(DA\), \(DB\) и \(DC\) к сфере. Точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются точками касания. По условию задачи, эти три касательные взаимно перпендикулярны, то есть \(DA \perp DB\), \(DB \perp DC\) и \(DC \perp DA\).

Радиусы сферы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Таким образом, \(OA \perp DA\), \(OB \perp DB\) и \(OC \perp DC\). Длины этих радиусов равны \(R\): \(OA = OB = OC = R\).
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle OAD\), \(\triangle OBD\) и \(\triangle OCD\). У них прямой угол соответственно при вершинах \(A\), \(B\) и \(C\). Все эти три треугольника имеют