Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 796 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.
Множеством центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через прямую \(a\), является дуга окружности, расположенная внутри шара. Диаметр этой окружности равен расстоянию от центра шара \(O\) до прямой \(a\), а плоскость окружности перпендикулярна прямой \(a\).
Рассмотрим произвольную плоскость \(\gamma\) проходящую через прямую \(a\), которая не пересекает шар с центром \(O\). Эта плоскость \(\gamma\) пересекает шар по окружности, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара. Пусть \(C\) — центр этой окружности сечения.
Отметим точку \(A\) на прямой \(a\) такую, что \(OA\) перпендикулярно \(a\). Поскольку прямая \(a\) не пересекает шар, точка \(A\) находится вне шара, и расстояние \(OA\) больше радиуса шара \(R\), то есть \(OA > R\). Плоскость, проходящая через центр шара \(O\) и перпендикулярная прямой \(a\), содержит точку \(A\). Обозначим эту плоскость как \(\beta\).
Центр \(C\) сечения лежит в плоскости \(\gamma\). Также известно, что отрезок, соединяющий центр шара \(O\) с центром сечения \(C\), перпендикулярен плоскости сечения \(\gamma\). Следовательно, \(OC \perp \gamma\). Поскольку прямая \(a\) лежит в плоскости \(\gamma\), \(OC\) перпендикулярно любой прямой в плоскости \(\gamma\), проходящей через \(C\). В частности, если \(AC\) лежит в \(\gamma\), то \(OC \perp AC\).
Рассмотрим треугольник \(OCA\). Угол \(\angle OCA\) является прямым, \(\angle OCA = 90^\circ\), так как \(OC \perp \gamma\) и \(AC \subset \gamma\). По свойству прямоугольного треугольника, вершина прямого угла \(C\) лежит на окружности с диаметром, равным гипотенузе \(OA\).
Таким образом, все центры \(C\) возможных сечений лежат на окружности с диаметром \(OA\). Эта окружность расположена в плоскости \(\beta\), которая проходит через \(O\) и перпендикулярна прямой \(a\).
Однако, сечение шара плоскостью существует только тогда, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара. Это расстояние равно \(OC\). Следовательно, центры сечений \(C\) должны удовлетворять условию \(OC < R\). Поскольку \(OA > R\), не все точки окружности с диаметром \(OA\) соответствуют реальным сечениям. Множество центров сечений — это часть окружности с диаметром \(OA\), расположенная внутри шара. Эта часть окружности является дугой.
Итак, множеством центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через прямую \(a\), является дуга окружности, расположенная внутри шара. Диаметр этой окружности равен расстоянию от центра шара \(O\) до прямой \(a\) (равному \(OA\)), а плоскость, в которой лежит эта окружность, перпендикулярна прямой \(a\) и проходит через центр шара \(O\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.