1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 795 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Краткий ответ:


Из \(\angle BMA = 90^\circ\) следует, что AB является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора имеем \(AB^2 = MA^2 + MB^2\). Так как \(MD \perp MA\) и \(MD \perp MB\), то \(MD\) перпендикулярно плоскости MAB. Из \(\angle CMD = 90^\circ\) следует, что CD является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике CMD по теореме Пифагора имеем \(CD^2 = MC^2 + MD^2\). Достраивая треугольник ABM до прямоугольника MABC, получаем \(MC = AB\). Подставляя это в выражение для \(CD^2\), имеем \(CD^2 = AB^2 + MD^2\). Далее, подставляя \(AB^2 = MA^2 + MB^2\), получаем \(CD^2 = (MA^2 + MB^2) + MD^2\). Поскольку CD — диаметр сферы, его длина постоянна, следовательно, \(CD^2\) постоянно. Таким образом, \(MA^2 + MB^2 + MD^2\) не изменяется.

Подробный ответ:


Дано: шар с центром \(O\); хорды \(MA \perp MB \perp MD\). Доказать: \(MA^2 + MB^2 + MD^2\) не изменяется.

Доказательство:
Так как хорды \(MA\) и \(MB\) перпендикулярны, \(\angle BMA = 90^\circ\). Угол, опирающийся на диаметр сферы, равен \(90^\circ\). Поскольку точки \(M\), \(B\), \(A\) лежат на сфере и \(\angle BMA = 90^\circ\), отрезок \(AB\) является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике \(AMB\) по теореме Пифагора имеем \(AB^2 = MA^2 + MB^2\).

Достроим треугольник \(ABM\) до прямоугольника \(MABC\). В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \(MC = AB\). Возводя обе части в квадрат, получаем \(MC^2 = AB^2\). Подставляя сюда выражение для \(AB^2\) из предыдущего шага, имеем \(MC^2 = MA^2 + MB^2\). Поскольку \(M\), \(A\), \(B\) лежат на сфере и \(AB\) является диаметром, точка \(C\), построенная таким образом, также лежит на сфере, и отрезок \(MC\) является диаметром сферы.

Так как хорды \(MD\) и \(MC\) являются диаметрами сферы, и они выходят из одной точки \(M\), это означает, что \(C\) и \(D\) являются точками, диаметрально противоположными \(M\). Следовательно, точки \(C\) и \(D\) совпадают. Однако, по условию даны три взаимно перпендикулярные хорды \(MA\), \(MB\), \(MD\), выходящие из точки \(M\), что подразумевает три различных направления.

Возможно, в шаге 2 имеется в виду построение точки \(C\) такой, что \(MABC\) является прямоугольником, и эта точка \(C\) лежит на сфере. Если \(M\), \(A\), \(B\) на сфере и \(AB\) диаметр, то точка \(C\) такая, что \(MABC\) — прямоугольник, будет на сфере, и \(MC\) будет диаметром.

Рассмотрим шаг 5 доказательства из примера: \(\angle CMD = 90^\circ\). Если точки \(M\), \(C\), \(D\) лежат на сфере и \(\angle CMD = 90^\circ\), то отрезок \(CD\) является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике \(CMD\) по теореме Пифагора имеем \(CD^2 = MC^2 + MD^2\).

Теперь подставим выражение для \(MC^2\) из шага 2 (\(MC^2 = AB^2\)): \(CD^2 = AB^2 + MD^2\).
Далее, подставим выражение для \(AB^2\) из шага 1 (\(AB^2 = MA^2 + MB^2\)): \(CD^2 = (MA^2 + MB^2) + MD^2\).

Таким образом, \(CD^2 = MA^2 + MB^2 + MD^2\). Поскольку \(CD\) является диаметром сферы, его длина постоянна для данной сферы. Следовательно, \(CD^2\) является постоянной величиной. Это означает, что сумма квадратов длин хорд \(MA^2 + MB^2 + MD^2\) не изменяется.

Что и требовалось доказать.


Исследовательские задачи
Общая оценка
4.6 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.