Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 793 Атанасян — Подробные Ответы
Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими рёбрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.
Обозначим ребра тетраэдра как векторы: \( \vec{DA} \cdot \vec{DH} = \vec{DB} \cdot \vec{DH} = \vec{DC} \cdot \vec{DH} = a \cdot DH \cdot \cos \phi \). Из этого следует \( \vec{DB} \cdot \vec{DH} — \vec{DA} \cdot \vec{DH} = 0 \) и \( \vec{DC} \cdot \vec{DH} — \vec{DA} \cdot \vec{DH} = 0 \). Преобразуем: \( (\vec{DB} — \vec{DA}) \cdot \vec{DH} = 0 \), что означает \( \vec{AB} \cdot \vec{DH} = 0 \), следовательно \( DH \perp AB \). Аналогично, \( (\vec{DC} — \vec{DA}) \cdot \vec{DH} = 0 \), что означает \( \vec{AC} \cdot \vec{DH} = 0 \), следовательно \( DH \perp AC \). Поскольку прямая \(DH\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AC\) в плоскости \(ABC\), то \(DH\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Что и требовалось доказать.
Дано: тетраэдр \(ABCD\), \(AD = BD = CD = a\), \(DH \cap ABC = H\), \( \angle ADH = \angle BDH = \angle CDH = \phi \).
Доказать: \( DH \perp ABC \).
Доказательство:
Первый шаг доказательства заключается в использовании векторов и скалярного произведения. Обозначим ребра тетраэдра как векторы. Из условия \(AD = BD = CD = a\) и \( \angle ADH = \angle BDH = \angle CDH = \phi \) следует, что скалярные произведения векторов \( \vec{DA} \), \( \vec{DB} \), \( \vec{DC} \) на вектор \( \vec{DH} \) равны. По определению скалярного произведения, \( \vec{DA} \cdot \vec{DH} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DH}| \cdot \cos(\angle ADH) = a \cdot DH \cdot \cos \phi \). Аналогично, \( \vec{DB} \cdot \vec{DH} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DH}| \cdot \cos(\angle BDH) = a \cdot DH \cdot \cos \phi \) и \( \vec{DC} \cdot \vec{DH} = |\vec{DC}| \cdot |\vec{DH}| \cdot \cos(\angle CDH) = a \cdot DH \cdot \cos \phi \). Таким образом, имеем равенство скалярных произведений: \( \vec{DA} \cdot \vec{DH} = \vec{DB} \cdot \vec{DH} = \vec{DC} \cdot \vec{DH} = a \cdot DH \cdot \cos \phi \).
Рассмотрим равенство \( \vec{DB} \cdot \vec{DH} = \vec{DA} \cdot \vec{DH} \). Перенесем все члены в одну сторону: \( \vec{DB} \cdot \vec{DH} — \vec{DA} \cdot \vec{DH} = 0 \). Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получим \( (\vec{DB} — \vec{DA}) \cdot \vec{DH} = 0 \). Вектор разности \( \vec{DB} — \vec{DA} \) равен вектору \( \vec{AB} \). Следовательно, \( \vec{AB} \cdot \vec{DH} = 0 \). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны. Поскольку \( \vec{AB} \) и \( \vec{DH} \) являются векторами, соответствующими ребрам тетраэдра и высоте (или ее части), они не являются нулевыми векторами (если только тетраэдр не вырожденный, что не предполагается в стандартных геометрических задачах). Таким образом, \( \vec{AB} \) ортогонален \( \vec{DH} \), что означает, что прямая \(DH\) перпендикулярна прямой \(AB\), то есть \( DH \perp AB \).
Аналогично рассмотрим равенство \( \vec{DC} \cdot \vec{DH} = \vec{DA} \cdot \vec{DH} \). Перенесем члены: \( \vec{DC} \cdot \vec{DH} — \vec{DA} \cdot \vec{DH} = 0 \). Используя свойство дистрибутивности, получим \( (\vec{DC} — \vec{DA}) \cdot \vec{DH} = 0 \). Вектор разности \( \vec{DC} — \vec{DA} \) равен вектору \( \vec{AC} \). Следовательно, \( \vec{AC} \cdot \vec{DH} = 0 \). Это означает, что вектор \( \vec{AC} \) ортогонален вектору \( \vec{DH} \), что геометрически интерпретируется как перпендикулярность прямых \(DH\) и \(AC\), то есть \( DH \perp AC \).
Таким образом, мы установили, что прямая \(DH\) перпендикулярна прямой \(AB\) и прямая \(DH\) перпендикулярна прямой \(AC\). Прямые \(AB\) и \(AC\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются в точке \(A\). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Поскольку \(DH \perp AB\) и \(DH \perp AC\), а прямые \(AB\) и \(AC\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются, то прямая \(DH\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). То есть, \( DH \perp ABC \).
Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.