Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 789 Атанасян — Подробные Ответы
Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед;
Доказать:
\(S_{\text{кв.ди.}} = S_{\text{кв.реб}};\)
Доказательство:
1) \(\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}\) и \(\vec{AA_1} = \vec{c}:\)
\(\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c};\)
\(\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c};\)
\(\vec{CA_1} = \vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AA_1} = -\vec{a} — \vec{b} + \vec{c};\)
\(\vec{DB_1} = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BB_1} = \vec{a} — \vec{b} + \vec{c};\)
2) Найдем квадраты этих векторов:
\({\vec{AC_1}}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{c}\vec{b};\)
\({\vec{BD_1}}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{c}\vec{b};\)
\({\vec{CA_1}}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{c}\vec{b};\)
\({\vec{DB_1}}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{c}\vec{b};\)
3) Сумма квадратов диагоналей:
\(S_{\text{кв.диагоналей}} = 4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2;\)
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Введем векторы, совпадающие с ребрами, выходящими из одной вершины, например, из вершины A. Пусть \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\) и \(\vec{AA_1} = \vec{c}\). Длины этих ребер равны \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) и \(|\vec{c}|\) соответственно. В параллелепипеде 12 ребер: четыре ребра имеют длину \(|\vec{a}|\), четыре — \(|\vec{b}|\) и четыре — \(|\vec{c}|\). Сумма квадратов длин всех ребер равна \(4|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2\). Поскольку квадрат длины вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть \(|\vec{a}|^2 = \vec{a}^2\), \(|\vec{b}|^2 = \vec{b}^2\) и \(|\vec{c}|^2 = \vec{c}^2\), сумма квадратов длин ребер равна \(4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2\).
Теперь рассмотрим диагонали параллелепипеда. В параллелепипеде четыре диагонали, соединяющие противоположные вершины: \(AC_1\), \(BD_1\), \(CA_1\), \(DB_1\). Выразим векторы этих диагоналей через введенные базисные векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).
Вектор диагонали \(AC_1\) можно представить как сумму векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}\). Поскольку \(\vec{BC}\) параллелен и равен по длине \(\vec{AD}\), то \(\vec{BC} = \vec{b}\). Аналогично, \(\vec{CC_1}\) параллелен и равен по длине \(\vec{AA_1}\), то \(\vec{CC_1} = \vec{c}\). Следовательно, \(\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\).
Вектор диагонали \(BD_1\) можно представить как сумму векторов \(\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}\). Вектор \(\vec{BA}\) противоположен вектору \(\vec{AB}\), поэтому \(\vec{BA} = -\vec{a}\). Вектор \(\vec{AD} = \vec{b}\). Вектор \(\vec{DD_1}\) параллелен и равен по длине \(\vec{AA_1}\), поэтому \(\vec{DD_1} = \vec{c}\). Следовательно, \(\vec{BD_1} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\).
Вектор диагонали \(CA_1\) можно представить как сумму векторов \(\vec{CD} + \vec{DA} + \vec{AA_1}\). Вектор \(\vec{CD}\) параллелен и противоположен вектору \(\vec{AB}\), поэтому \(\vec{CD} = -\vec{a}\). Вектор \(\vec{DA}\) противоположен вектору \(\vec{AD}\), поэтому \(\vec{DA} = -\vec{b}\). Вектор \(\vec{AA_1} = \vec{c}\). Следовательно, \(\vec{CA_1} = -\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}\).
Вектор диагонали \(DB_1\) можно представить как сумму векторов \(\vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BB_1}\). Вектор \(\vec{DC}\) параллелен и равен по длине вектору \(\vec{AB}\), поэтому \(\vec{DC} = \vec{a}\). Вектор \(\vec{CB}\) параллелен и противоположен вектору \(\vec{AD}\), поэтому \(\vec{CB} = -\vec{b}\). Вектор \(\vec{BB_1}\) параллелен и равен по длине вектору \(\vec{AA_1}\), поэтому \(\vec{BB_1} = \vec{c}\). Следовательно, \(\vec{DB_1} = \vec{a} — \vec{b} + \vec{c}\).
Теперь найдем квадраты длин этих диагоналей, что равно скалярному квадрату соответствующих векторов.
Квадрат длины диагонали \(AC_1\): \(|\vec{AC_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 +\)
\(+ 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}\).
Квадрат длины диагонали \(BD_1\): \(|\vec{BD_1}|^2 = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = (-\vec{a} + \vec{b} +\)
\(+ \vec{c}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = (-\vec{a})^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(-\vec{a})\vec{b} + 2(-\vec{a})\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c} =\)
\(= \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}\).
Квадрат длины диагонали \(CA_1\): \(|\vec{CA_1}|^2 = (-\vec{a} — \vec{b} + \vec{c})^2 = (-\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}) \cdot (-\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}) = (-\vec{a})^2 + (-\vec{b})^2 +\)
\(+ \vec{c}^2 + 2(-\vec{a})(-\vec{b}) + 2(-\vec{a})\vec{c} + 2(-\vec{b})\vec{c} = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c}\).
Квадрат длины диагонали \(DB_1\): \(|\vec{DB_1}|^2 = (\vec{a} — \vec{b} + \vec{c})^2 = (\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} — \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}^2 + (-\vec{b})^2 + \)
\(+\vec{c}^2 + 2\vec{a}(-\vec{b}) + 2\vec{a}\vec{c} + 2(-\vec{b})\vec{c} = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c}\).
Теперь сложим квадраты длин всех четырех диагоналей:
\(|\vec{AC_1}|^2 + |\vec{BD_1}|^2 + |\vec{CA_1}|^2 + |\vec{DB_1}|^2 = (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c})+\)
\( + (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}) + (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + \)
\(+2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c}) + (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 — 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c})\).
При сложении этих выражений видно, что все члены, содержащие скалярные произведения (\(2\vec{a}\vec{b}\), \(2\vec{a}\vec{c}\), \(2\vec{b}\vec{c}\)), взаимно уничтожаются:
\(2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{b} — 2\vec{a}\vec{b} = 0\)
\(2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{a}\vec{c} — 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{a}\vec{c} = 0\)
\(2\vec{b}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c} — 2\vec{b}\vec{c} = 0\)
Остаются только члены с квадратами векторов:
\(|\vec{AC_1}|^2 + |\vec{BD_1}|^2 + |\vec{CA_1}|^2 + |\vec{DB_1}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + \vec{a}^2+\)
\( + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 = 4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2\).
Таким образом, сумма квадратов длин диагоналей параллелепипеда равна \(4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2\). Ранее мы установили, что сумма квадратов длин всех ребер параллелепипеда также равна \(4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2\).
Следовательно, сумма квадратов длин диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его ребер. Что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.