Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 786 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка, поэтому икосаэдр совмещается с собой при повороте на \(72^\circ\).
2) Пусть икосаэдр вращается вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\), тогда при повороте на \(72^\circ\) точка \(O_1\) переходит в \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\), \(O_3\) в \(O_4\), \(O_4\) в \(O_5\), \(O_5\) в \(O_1\), значит \(O_1O_2O_3O_4O_5\) является правильным пятиугольником.
3) Аналогично для осей, проходящих через каждую вершину икосаэдра, значит все точки центров пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник.
4) Двадцать точек центров граней образуют двенадцать правильных пятиугольников, которые являются вершинами правильного додекаэдра.
Дано: Правильный икосаэдр \(A_1 A_2 \dots A_{12}\) и центры его граней \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\). Требуется доказать, что точки \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\) образуют правильный додекаэдр.
Доказательство:
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка. Это означает, что икосаэдр совмещается сам с собой при повороте на угол \(72^\circ\) вокруг этой оси. Таким образом, икосаэдр обладает симметрией пятого порядка.
2) Рассмотрим вращение икосаэдра вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\). При повороте на угол \(72^\circ\) точка \(O_1\) перейдет в \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\), \(O_3\) в \(O_4\), \(O_4\) в \(O_5\), \(O_5\) в \(O_1\). Следовательно, точки \(O_1, O_2, O_3, O_4, O_5\) образуют правильный пятиугольник.
3) Аналогично, для каждой вершины икосаэдра \(A_i\) точки центров граней, сходящихся в этой вершине, образуют правильный пятиугольник. Таким образом, все 20 точек центров граней икосаэдра образуют 12 правильных пятиугольников.
4) Двенадцать правильных пятиугольников, образованных точками центров граней икосаэдра, являются гранями правильного додекаэдра. Следовательно, точки \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\) образуют правильный додекаэдр.
Таким образом, мы доказали, что точки центров граней правильного икосаэдра образуют правильный додекаэдр.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.