Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 786 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка, поэтому икосаэдр совмещается с собой при повороте на \(72^\circ\).
2) Пусть икосаэдр вращается вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\), тогда при повороте на \(72^\circ\) точка \(O_1\) переходит в \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\), \(O_3\) в \(O_4\), \(O_4\) в \(O_5\), \(O_5\) в \(O_1\), значит \(O_1O_2O_3O_4O_5\) является правильным пятиугольником.
3) Аналогично для осей, проходящих через каждую вершину икосаэдра, значит все точки центров пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник.
4) Двадцать точек центров граней образуют двенадцать правильных пятиугольников, которые являются вершинами правильного додекаэдра.
Дано: Правильный икосаэдр \(A_1 A_2 \dots A_{12}\) и центры его граней \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\). Требуется доказать, что точки \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\) образуют правильный додекаэдр.
Доказательство:
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка. Это означает, что икосаэдр совмещается сам с собой при повороте на угол \(72^\circ\) вокруг этой оси. Таким образом, икосаэдр обладает симметрией пятого порядка.
2) Рассмотрим вращение икосаэдра вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\). При повороте на угол \(72^\circ\) точка \(O_1\) перейдет в \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\), \(O_3\) в \(O_4\), \(O_4\) в \(O_5\), \(O_5\) в \(O_1\). Следовательно, точки \(O_1, O_2, O_3, O_4, O_5\) образуют правильный пятиугольник.
3) Аналогично, для каждой вершины икосаэдра \(A_i\) точки центров граней, сходящихся в этой вершине, образуют правильный пятиугольник. Таким образом, все 20 точек центров граней икосаэдра образуют 12 правильных пятиугольников.
4) Двенадцать правильных пятиугольников, образованных точками центров граней икосаэдра, являются гранями правильного додекаэдра. Следовательно, точки \(O_1, O_2, \dots, O_{20}\) образуют правильный додекаэдр.
Таким образом, мы доказали, что точки центров граней правильного икосаэдра образуют правильный додекаэдр.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.