Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 785 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного додекаэдра, является осью симметрии третьего порядка, то есть додекаэдр совмещается с собой при повороте на \(120°\).
2) Пусть додекаэдр вращается вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\), тогда при повороте на \(120°\) точка \(O_1\) переходит в точку \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\) и \(O_3\) в \(O_1\), следовательно треугольник \(O_1O_2O_3\) является равносторонним.
3) Аналогично для осей, проходящих через каждую вершину, значит каждые точки центров трех соседних граней додекаэдра образуют правильный треугольник.
4) Двенадцать точек центров граней образуют двадцать правильных треугольников, они являются вершинами правильного икосаэдра, что и требовалось доказать.
Дано: правильный додекаэдр \(A_1A_2…A_{20}\) и центры граней \(O_1, O_2, …, O_{12}\). Требуется доказать, что точки \(O_1O_2…O_{12}\) образуют правильный икосаэдр.
Доказательство:
1) Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного додекаэдра, является осью симметрии третьего порядка, то есть додекаэдр совмещается с собой при повороте на \(120°\). Это означает, что если додекаэдр вращается вокруг оси, проходящей через вершину \(A_1\), то при повороте на \(120°\) точка \(O_1\) переходит в точку \(O_2\), \(O_2\) в \(O_3\) и \(O_3\) в \(O_1\).
2) Поскольку при повороте на \(120°\) точки \(O_1\), \(O_2\) и \(O_3\) переходят друг в друга, то треугольник \(O_1O_2O_3\) является равносторонним.
3) Аналогично, для каждой вершины додекаэдра \(A_i\) центры трех граней, сходящихся в этой вершине, образуют равносторонний треугольник \(O_jO_kO_l\).
4) Таким образом, двенадцать точек центров граней додекаэдра \(O_1, O_2, …, O_{12}\) образуют двадцать равносторонних треугольников. Эти треугольники являются вершинами правильного икосаэдра. Следовательно, точки \(O_1O_2…O_{12}\) образуют правильный икосаэдр, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.