ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 784 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется

1) Пусть отрезок CD перемещается в отрезок C’D’.
2) Отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой, значит \(ABCD\) и \(ABC’D’\) имеют общую высоту из точки B, и \(CD = C’D’\), значит \(S_{BCD} = S_{BC’D’}\).
3) Отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой и точка B общая, значит \(BCD\) и \(BC’D’\) лежат в одной плоскости, следовательно тетраэдры \(ABCD\) и \(ABC’D’\) имеют общую высоту \(h\).
4) Объемы тетраэдров одинаковы: \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{BCD}h = \frac{1}{3}S_{BC’D’}h = V_{ABC’D’}\).
5) Аналогично при перемещении отрезка AB, значит объем тетраэдра остается постоянным при их движении.

Дано: Тетраэдр ABCD, где прямые a и b являются скрещивающимися, а отрезки AB и CD перемещаются.

Доказать: Объем тетраэдра VABCD является постоянным при перемещении отрезков AB и CD.

Доказательство:
1) Пусть отрезок CD перемещается в отрезок C’D’. Тогда плоскость, содержащая отрезок CD, перемещается в плоскость, содержащую отрезок C’D’.
2) Поскольку отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой, то треугольники BCD и BC’D’ имеют общую высоту, проведенную из вершины B. Следовательно, \(S_{BCD} = S_{BC’D’}\).
3) Так как отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой и точка B является общей для треугольников BCD и BC’D’, то эти треугольники лежат в одной плоскости. Следовательно, тетраэдры ABCD и ABC’D’ имеют общую высоту, проведенную из вершины B.
4) Объемы тетраэдров ABCD и ABC’D’ равны, так как они имеют равные основания (треугольники BCD и BC’D’) и общую высоту:
\(V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{BCD}h = \frac{1}{3}S_{BC’D’}h = V_{ABC’D’}\)
5) Аналогично, при перемещении отрезка AB объем тетраэдра ABCD также остается постоянным. Это связано с тем, что треугольники ABD и A’BD, полученные при перемещении AB, имеют общую высоту, проведенную из вершины D.

Таким образом, объем тетраэдра VABCD является постоянным при перемещении отрезков AB и CD.