Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 784 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки AB и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется
1) Пусть отрезок CD перемещается в отрезок C’D’.
2) Отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой, значит \(ABCD\) и \(ABC’D’\) имеют общую высоту из точки B, и \(CD = C’D’\), значит \(S_{BCD} = S_{BC’D’}\).
3) Отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой и точка B общая, значит \(BCD\) и \(BC’D’\) лежат в одной плоскости, следовательно тетраэдры \(ABCD\) и \(ABC’D’\) имеют общую высоту \(h\).
4) Объемы тетраэдров одинаковы: \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{BCD}h = \frac{1}{3}S_{BC’D’}h = V_{ABC’D’}\).
5) Аналогично при перемещении отрезка AB, значит объем тетраэдра остается постоянным при их движении.
Дано: Тетраэдр ABCD, где прямые a и b являются скрещивающимися, а отрезки AB и CD перемещаются.
Доказать: Объем тетраэдра VABCD является постоянным при перемещении отрезков AB и CD.
Доказательство:
1) Пусть отрезок CD перемещается в отрезок C’D’. Тогда плоскость, содержащая отрезок CD, перемещается в плоскость, содержащую отрезок C’D’.
2) Поскольку отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой, то треугольники BCD и BC’D’ имеют общую высоту, проведенную из вершины B. Следовательно, \(S_{BCD} = S_{BC’D’}\).
3) Так как отрезки CD и C’D’ лежат на одной прямой и точка B является общей для треугольников BCD и BC’D’, то эти треугольники лежат в одной плоскости. Следовательно, тетраэдры ABCD и ABC’D’ имеют общую высоту, проведенную из вершины B.
4) Объемы тетраэдров ABCD и ABC’D’ равны, так как они имеют равные основания (треугольники BCD и BC’D’) и общую высоту:
\(V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{BCD}h = \frac{1}{3}S_{BC’D’}h = V_{ABC’D’}\)
5) Аналогично, при перемещении отрезка AB объем тетраэдра ABCD также остается постоянным. Это связано с тем, что треугольники ABD и A’BD, полученные при перемещении AB, имеют общую высоту, проведенную из вершины D.
Таким образом, объем тетраэдра VABCD является постоянным при перемещении отрезков AB и CD.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.