Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 778 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров
Краткое решение:
1) Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали куба. Получим правильный шестиугольник со стороной \(b = AB\).
2) В равнобедренном треугольнике \(\Delta A_1BA\) имеем: \(A_1B^2 = b^2 + b^2 — 2b^2 \cdot \cos 120^\circ = 3b^2\) и \(A_1B^2 = a^2 + a^2 — 2a^2 \cdot \cos 90^\circ = 2a^2\).
3) Из равенства \(3b^2 = 2a^2\) следует, что \(b = \sqrt{2}a\).
4) В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности \(r = b \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}b = \frac{\sqrt{6}}{2}a\).
5) Вписанный в окружность квадрат имеет сторону \(EF = \sqrt{2}r = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}a = \sqrt{3}a\).
6) В треугольнике \(\Delta AOE\) имеем: \(\angle AOE = 45^\circ\), \(OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a\), \(\angle AEO = 60^\circ\), \(\angle AEO = 180^\circ — 45^\circ — 60^\circ = 75^\circ\).
7) Из подобия треугольников следует, что \(\frac{\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{OE}{OE} \Rightarrow OE > OF\).
Таким образом, существует отверстие в кубе.
Полное пошаговое решение:
Дано: куб ABCDA1B1C1D1, где AB = a.
Доказать: в кубе существует отверстие.
Доказательство:
1) Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали куба. Получим правильный шестиугольник, где сторона AB = b = R.
2) В равнобедренном треугольнике ΔA1BA имеем: \(A_1B^2 = b^2 + b^2 — 2b^2 \cdot \cos 120^\circ = 3b^2\) и \(A_1B^2 = a^2 + a^2 — 2a^2 \cdot \cos 90^\circ = 2a^2\). Приравнивая выражения, получаем \(3b^2 = 2a^2\), откуда \(b = \sqrt{2}a\).
3) В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности \(r = b \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}b = \frac{\sqrt{6}}{2}a\).
4) Вписанный в окружность квадрат имеет сторону \(EF = \sqrt{2}r = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}a = \sqrt{3}a\).
5) В треугольнике ΔAO E имеем: \(\angle AOE = 45^\circ\), \(OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a\), \(\angle AEO = 60^\circ\), \(\angle AEO = 180^\circ — 45^\circ — 60^\circ = 75^\circ\).
6) Из подобия треугольников следует, что \(\frac{\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{OE}{OE} \Rightarrow OE > OF\).
Таким образом, существует отверстие в кубе, так как сторона квадрата EF, вписанного в окружность, больше стороны куба AB.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.