Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 774 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
1) Сечение ACD1 — правильный треугольник со стороной \(a\sqrt{2}\).
2) Сечения параллельные граням куба — квадраты со стороной \(a\).
3) Сечение LKGHFE — правильный шестиугольник, где \(EF = a/\sqrt{2}\).
4) Сечение AMNKL не может быть правильным многоугольником, так как \(\angle LAM + \angle AMN = 180^\circ\).
5) Куб имеет только 6 граней, значит сечением не может быть правильный многоугольник с большим числом сторон.
Вот подробное решение:
Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 со стороной \(a\). Для построения всех правильных сечений куба выполним следующие шаги:
1) Сечение ACD1 является правильным треугольником. Сторона треугольника равна \(a\sqrt{2}\), так как диагональ грани куба равна \(a\sqrt{2}\).
2) Сечения, параллельные граням куба, являются квадратами со стороной \(a\). Это объясняется тем, что все ребра куба равны \(a\), и при пересечении плоскостью, параллельной грани, образуются квадраты.
3) Сечение LKGHFE является правильным шестиугольником. Для доказательства этого факта рассмотрим середины ребер куба — точки G, H, K, L, E, F. Так как все эти точки являются серединами ребер, то отрезки, соединяющие их, равны \(a/\sqrt{2}\) по теореме Фалеса. Следовательно, сечение LKGHFE является правильным шестиугольником.
4) Сечение AMNKL не может быть правильным многоугольником. Это объясняется тем, что точки L, K, N, M лежат на ребрах куба, и угол между ними равен \(180^\circ\). Поэтому сумма углов многоугольника не может быть равна \(n(180^\circ — 2\pi/n)\), где \(n\) — число сторон многоугольника.
5) Куб имеет только 6 граней, следовательно, сечением не может быть правильный многоугольник с большим числом сторон.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные правильные сечения куба и объяснили, почему они являются правильными или не могут быть правильными многоугольниками.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.