Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 773 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.
1) Построим точку A₁ — проекцию A на α.
2) Построим точку B₁ — проекцию B на β.
3) AA₁ ⊥ α, AA₁ ⊥ MN, BB₁ ⊥ β, BB₁ ⊥ MN.
4) Линейные углы между плоскостями α и β: A₁A₂ ⊥ MN, B₁B₂ ⊥ MN, ∠AA₂A₁ = 2∠BB₂B₁.
5) Из равенства треугольников следует: AA₂ = BB₂/B₁B₂ = A₁A₂, ∆AA₁A₂ = ∆BB₁B₂; AA₁ = BB₁, ∆AA₁B = ∆AB₁B, ∠ABA₁ = ∠BAB₁.
Дано: плоскости α и β, прямая АВ, точки А₁, А₂, В₁, В₂, М и N.
Доказательство:
1) Построим точку А₁ — проекцию точки А на плоскость α. Это позволит нам установить перпендикулярность между прямой АА₁ и плоскостью α.
2) Построим точку В₁ — проекцию точки В на плоскость β. Это позволит нам установить перпендикулярность между прямой ВВ₁ и плоскостью β.
3) Из построения следует, что AA₁ ⊥ α, AA₁ ⊥ MN, BB₁ ⊥ β, BB₁ ⊥ MN.
4) Рассмотрим линейные углы между плоскостями α и β:
— A₁A₂ ⊥ MN
— B₁B₂ ⊥ MN
— ∠AA₂A₁ = 2∠BB₂B₁
5) Из равенства треугольников следует:
— AA₂ = BB₂/B₁B₂ = A₁A₂
— ∆AA₁A₂ = ∆BB₁B₂
— AA₁ = BB₁
— ∆AA₁B = ∆AB₁B
— ∠ABA₁ = ∠BAB₁
Таким образом, мы доказали, что ∠ABA₁ = ∠BAB₁, то есть ∠ABA₁ = ∠BAB₁.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.