Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 769 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней
Дано: DABC — тетраэдр; DH — выс. в АВС; ВР — выс. в ADC; AH ⊥ BC; ВH ⊥ AC; CH ⊥ AB. Доказать: DH ∩ AH ∩ HC = H; BP ∩ AP ∩ PD = P. Доказательство: 1) Построим прямые a и d: d || AC, a || BC, A ∈ a и D ∈ d; 2) Так как DH ⊥ ABC, тогда: ADH ⊥ ABC, DHC ⊥ ABC, DHB ⊥ ABC; 3) По теореме о трех перпендикулярах: a || BC, AH ⊥ BC, DA ⊥ a, AD ⊥ BC; 4) Аналогично: AB ⊥ DC и AC ⊥ DB; 5) По теореме о трех перпендикулярах: AC ⊥ DB, d ⊥ DB, d ⊥ PD, PD ⊥ AC; Значит точка P лежит на высоте ΔADC; Аналогично для остальных высот.
Дано: тетраэдр DABC, высота DH в треугольнике АВС, высота ВР в треугольнике ADC, прямые AH, ВH и CH перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Требуется доказать, что точки пересечения высот DH, AH и HC лежат на одной прямой, образуя высоту H, и что точки пересечения высот ВР, АР и PD лежат на одной прямой, образуя высоту P.
Доказательство:
1) Построим прямые a и d, параллельные сторонам треугольника ABC: d || AC, a || BC, при этом A ∈ a и D ∈ d.
2) Так как DH ⊥ ABC, то ADH ⊥ ABC, DHC ⊥ ABC и DHB ⊥ ABC.
3) По теореме о трех перпендикулярах, a || BC, AH ⊥ BC, DA ⊥ a и AD ⊥ BC.
4) Аналогично, AB ⊥ DC и AC ⊥ DB.
5) По теореме о трех перпендикулярах, AC ⊥ DB, d ⊥ DB, d ⊥ PD и PD ⊥ AC.
Таким образом, точка P лежит на высоте ΔADC, а точки пересечения высот DH, AH и HC лежат на одной прямой, образуя высоту H. Аналогично для остальных высот.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.