Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 765 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона АВ основания равна 6/2 см, а боковое ребро МА равно 12 см. Найдите:
а) площадь боковой поверхности пирамиды;
б) объём пирамиды;
в) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
г) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
д) скалярное произведение векторов \(\vec{(AB + AD)} \vec{AM}\);
е) площадь сферы, описанной около пирамиды.
а) Площадь боковой поверхности пирамиды: \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 72 \text{ см}^2\)
б) Объём пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{6}{2}\right)^2 \cdot 12 = 144/3 \text{ см}^3\)
в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания: \(\tan \alpha = \frac{h}{a} = \frac{12}{6/2} = \sqrt{6}, \quad \alpha = \arctan \sqrt{6}\)
г) Угол между боковым ребром и плоскостью основания: \(\tan \beta = \frac{h}{a} = \frac{12}{6} = 2, \quad \beta = \arctan 2 = 63.43^\circ\)
д) Скалярное произведение векторов \(\vec{(AB + AD)} \vec{AM}\): \((\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AM} = AC \cdot AM \cdot \cos \angle MAC = 12 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ = 72\)
е) Площадь сферы, описанной около пирамиды: \(S_{\text{сферы}} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{144}{12 \sqrt{3}}\right)^2 = 192 \pi \text{ см}^2\)
а) Площадь боковой поверхности пирамиды:
Пирамида MABCD является правильной четырёхугольной пирамидой, где сторона основания АВ равна 6/2 см, а боковое ребро МА равно 12 см. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле: \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) — сторона основания, \(h\) — высота пирамиды. Подставляя известные значения, получаем: \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot 12 = 72 \text{ см}^2\).
б) Объём пирамиды:
Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, \(h\) — высота пирамиды. Площадь основания равна \(S_{\text{осн}} = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \text{ см}^2\). Подставляя известные значения, получаем: \(V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 12 = 144/3 \text{ см}^3\).
в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания:
Угол наклона боковой грани к плоскости основания \(\alpha\) можно найти, используя соотношение сторон прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром и стороной основания: \(\tan \alpha = \frac{h}{a} = \frac{12}{6/2} = \sqrt{6}\). Отсюда \(\alpha = \arctan \sqrt{6}\).
г) Угол между боковым ребром и плоскостью основания:
Угол между боковым ребром и плоскостью основания \(\beta\) также можно найти, используя соотношение сторон прямоугольного треугольника: \(\tan \beta = \frac{h}{a} = \frac{12}{6} = 2\). Отсюда \(\beta = \arctan 2 = 63.43^\circ\).
д) Скалярное произведение векторов \(\vec{(AB + AD)} \vec{AM}\):
Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \angle (\vec{a}, \vec{b})\). В данном случае \(\vec{a} = \vec{AB} + \vec{AD}\), \(\vec{b} = \vec{AM}\), \(|\vec{a}| = AC = 12 \text{ см}\), \(|\vec{b}| = AM = 12 \text{ см}\) и \(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = \angle MAC = 60^\circ\). Подставляя эти значения, получаем: \((\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AM} = 12 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ = 72\).
е) Площадь сферы, описанной около пирамиды:
Радиус описанной сферы \(R\) можно найти, используя теорему Пифагора: \(R^2 = (MA)^2 + (\frac{AB}{2})^2 = 12^2 + (\frac{6}{2})^2 = 144 + 9 = 153\). Следовательно, \(R = \sqrt{153} = \frac{144}{12\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \text{ см}\). Площадь сферы вычисляется по формуле \(S_{\text{сферы}} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{12}{\sqrt{3}}\right)^2 = 192 \pi \text{ см}^2\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.