ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 763 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что при параллельном переносе на вектор \(\vec{p}\): а) плоскость, не параллельная вектору \(\vec{p}\) и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору \(\vec{p}\) или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Это доказывается следующим образом:
1) Возьмём на плоскости точку и проведём через неё две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\).
2) При параллельном переносе прямая \(b\) перейдёт в параллельную ей прямую \(b_1\), а прямая \(a\) — в параллельную ей прямую \(a_1\).
3) Так как \(a\) и \(b\) пересекаются, то \(a_1\) и \(b_1\) тоже пересекаются.
4) Через эти прямые проведём плоскость.
5) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пусть даны две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\) на плоскости. Рассмотрим параллельный перенос этих прямых.

При параллельном переносе прямая \(b\) перейдёт в параллельную ей прямую \(b_1\), а прямая \(a\) — в параллельную ей прямую \(a_1\). Так как \(a\) и \(b\) пересекаются, то \(a_1\) и \(b_1\) тоже пересекаются.

Через эти пересекающиеся прямые \(a_1\) и \(b_1\) проведём плоскость. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Действительно, пусть \(p\) — прямая, параллельная или содержащая прямую \(a\). Тогда при параллельном переносе \(p\) переходит в прямую, параллельную \(a_1\), то есть в саму \(p\). Аналогично, прямая \(b\), параллельная или содержащая прямую \(b\), при параллельном переносе переходит в саму себя.

Таким образом, прямые \(a_1\) и \(b_1\) лежат в одной плоскости \(p\), которая при параллельном переносе отображается сама на себя. Следовательно, эта плоскость \(p\) параллельна исходной плоскости, содержащей прямые \(a\) и \(b\).

Это и требовалось доказать.