Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 759 Атанасян — Подробные Ответы
Дан двугранный угол CABD, равный \(\varphi (\varphi<90°)\). Известно, что \(AC \perp AB\) и \(\angle DAB = 0\). Найдите \(\cos \angle CAD\).
По теореме косинусов для треугольника CAD:
\(CD^2 = CA^2 + AD^2 — 2CA \cdot AD \cdot \cos \angle CAD\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(CD^2 = a^2 \sin^2 \theta + a^2 — 2a^2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
Раскрывая скобки:
\(2a^2 \sin^2 \theta (1 — \cos \phi) + a^2 \cos^2 \theta = a^2 \sin^2 \theta + a^2 — 2a^2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
Сокращая и преобразуя:
\(\sin^2 \theta + 1 — 2 \sin \theta \cos \angle CAD = \sin^2 \theta + 1 — 2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
\(1 — 2 \sin^2 \theta \cos \phi — 1 = -2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
\(2 \sin^2 \theta \cos \phi = 2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
\(\sin \theta \cos \phi = \sin \theta \cos \angle CAD\)
\(\angle CAD = \arccos(\sin \theta \cos \phi)\)
Рассмотрим треугольник CAD. Согласно теореме косинусов для этого треугольника, мы можем записать:
\(CD^2 = CA^2 + AD^2 — 2CA \cdot AD \cdot \cos \angle CAD\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(CD^2 = a^2 + a^2 — 2a^2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
Раскрывая скобки:
\(CD^2 = 2a^2 — 2a^2 \sin \theta \cos \angle CAD\)
Далее, преобразуем выражение:
\(CD^2 = 2a^2 (1 — \sin \theta \cos \angle CAD)\)
Используя тригонометрическую формулу \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), можно записать:
\(\sin \theta \cos \angle CAD = \sqrt{1 — \cos^2 \angle CAD}\)
Подставляя это выражение, получаем:
\(CD^2 = 2a^2 (1 — \sqrt{1 — \cos^2 \angle CAD})\)
Раскрывая скобки:
\(CD^2 = 2a^2 — 2a^2 \sqrt{1 — \cos^2 \angle CAD}\)
Таким образом, окончательное выражение для \(CD^2\) будет:
\(CD^2 = 2a^2 — 2a^2 \sqrt{1 — \cos^2 \angle CAD}\)
Далее, мы можем найти значение угла \(\angle CAD\) из этого выражения:
\(\angle CAD = \arccos\left(\sqrt{1 — \frac{CD^2}{2a^2}}\right)\)
Подставляя известные значения, получаем окончательный ответ.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.