Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 758 Атанасян — Подробные Ответы
Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что \(\angle BOC = \angle BOA = 45°\), \(\angle AOC = 60°\). Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС.
Рассмотрим треугольник СОА: \(OA = OC \cos 60° = \frac{OC}{2}\)
Рассмотрим треугольник СОВ: \(OB = OC \cos 45° = \frac{OC}{\sqrt{2}}\)
Рассмотрим треугольник АОВ.
По теореме косинусов: \(AB^2 = OB^2 + OA^2 — 2OB \cdot AO \cos 45°\)
\(AB^2 = \frac{OC^2}{2} + \frac{OC^2}{2} — 2 \cdot \frac{OC}{\sqrt{2}} \cdot \frac{OC}{\sqrt{2}} \cdot \cos 45°\)
\(AB^2 = OC^2 — OC^2 \cdot \cos 45° = OC^2 \left(1 — \cos 45°\right) = \frac{OC^2}{2}\)
\(AB = \frac{OC}{\sqrt{2}}\)
Таким образом, треугольник АОВ равнобедренный, \(OA = AB\).
Прямые НО и СВ перпендикулярны к плоскости АВО, то есть они лежат в одной плоскости, \(\angle HOB = 90°\), \(\angle COB = 45°\). Следовательно, искомый угол равен 45 градусов.
Рассмотрим треугольник СОА. Согласно рисунку, сторона ОА является одной из сторон этого треугольника. Для нахождения длины ОА воспользуемся тригонометрическим тождеством:
\(OA = OC \cos 60°\)
Где \(OC\) — длина стороны ОС треугольника СОА. Подставляя значение угла 60°, получаем:
\(OA = OC \cdot \frac{1}{2} = \frac{OC}{2}\)
Таким образом, длина стороны ОА равна половине длины стороны ОС.
Далее рассмотрим треугольник СОВ. Согласно рисунку, сторона ОВ является одной из сторон этого треугольника. Для нахождения длины ОВ воспользуемся тригонометрическим тождеством:
\(OB = OC \cos 45°\)
Где \(OC\) — длина стороны ОС треугольника СОВ. Подставляя значение угла 45°, получаем:
\(OB = OC \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{OC}{\sqrt{2}}\)
Таким образом, длина стороны ОВ равна длине стороны ОС, деленной на корень из 2.
Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Согласно теореме косинусов, для нахождения длины стороны АВ можно использовать следующую формулу:
\(AB^2 = OB^2 + OA^2 — 2OB \cdot OA \cos 45°\)
Подставляя найденные ранее значения, получаем:
\(AB^2 = \left(\frac{OC}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{OC}{2}\right)^2 — 2 \cdot \frac{OC}{\sqrt{2}} \cdot \frac{OC}{2} \cdot \cos 45°\)
\(AB^2 = \frac{OC^2}{2} + \frac{OC^2}{4} — OC^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{OC^2}{2}\)
\(AB = \frac{OC}{\sqrt{2}}\)
Таким образом, треугольник АОВ является равнобедренным, с длиной сторон \(OA = AB = \frac{OC}{\sqrt{2}}\).
Прямые НО и СВ перпендикулярны к плоскости треугольника АВО, то есть они лежат в одной плоскости. Следовательно, угол между ними равен 90 градусам (\(\angle HOB = 90°\)), а угол между сторонами ОВ и СВ равен 45 градусам (\(\angle COB = 45°\)). Таким образом, искомый угол равен 45 градусам.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.