Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 757 Атанасян — Подробные Ответы
Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90°\), \(\angle AOM = \varphi_1\), \(\angle BOM = \varphi_2\), \(\angle COM = \varphi_3\). Докажите, что \(\cos^2\varphi_1 + \cos^2\varphi_2 + \cos^2\varphi_3 = 1\).
\(\left| \vec{a} \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x, y, z\) — координаты \(\vec{a}\).
Тогда, \(\left| \vec{a} \right|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\)
\(\Rightarrow \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 = 1\)
Пусть вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \(x, y, z\). Тогда длина вектора выражается формулой:
\(\left| \vec{a} \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Рассмотрим направления координатных осей. Пусть \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\) — углы между вектором \(\vec{a}\) и осями \(x, y, z\) соответственно. Тогда проекции вектора \(\vec{a}\) на оси выражаются так:
\(x = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_1\),
\(y = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_2\),
\(z = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_3\).
Возведём обе части этих равенств в квадрат:
\(x^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1\),
\(y^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2\),
\(z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\).
Сложим полученные выражения:
\(x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\).
Но по определению длины вектора:
\(x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2\).
Приравняем правые части:
\(\left| \vec{a} \right|^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \left( \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 \right)\).
Разделим обе части на \(\left| \vec{a} \right|^2\) (при \(\left| \vec{a} \right| \neq 0\)):
\(1 = \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3\).
Итак, сумма квадратов косинусов углов между вектором и координатными осями равна единице:
\(\cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 = 1\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.