Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 757 Атанасян — Подробные Ответы
Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90°\), \(\angle AOM = \varphi_1\), \(\angle BOM = \varphi_2\), \(\angle COM = \varphi_3\). Докажите, что \(\cos^2\varphi_1 + \cos^2\varphi_2 + \cos^2\varphi_3 = 1\).
\(\left| \vec{a} \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x, y, z\) — координаты \(\vec{a}\).
Тогда, \(\left| \vec{a} \right|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\)
\(\Rightarrow \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 = 1\)
Пусть вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \(x, y, z\). Тогда длина вектора выражается формулой:
\(\left| \vec{a} \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Рассмотрим направления координатных осей. Пусть \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\) — углы между вектором \(\vec{a}\) и осями \(x, y, z\) соответственно. Тогда проекции вектора \(\vec{a}\) на оси выражаются так:
\(x = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_1\),
\(y = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_2\),
\(z = \left| \vec{a} \right| \cos \varphi_3\).
Возведём обе части этих равенств в квадрат:
\(x^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1\),
\(y^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2\),
\(z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\).
Сложим полученные выражения:
\(x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_1 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_2 + \left| \vec{a} \right|^2 \cos^2 \varphi_3\).
Но по определению длины вектора:
\(x^2 + y^2 + z^2 = \left| \vec{a} \right|^2\).
Приравняем правые части:
\(\left| \vec{a} \right|^2 = \left| \vec{a} \right|^2 \left( \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 \right)\).
Разделим обе части на \(\left| \vec{a} \right|^2\) (при \(\left| \vec{a} \right| \neq 0\)):
\(1 = \cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3\).
Итак, сумма квадратов косинусов углов между вектором и координатными осями равна единице:
\(\cos^2 \varphi_1 + \cos^2 \varphi_2 + \cos^2 \varphi_3 = 1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.