Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 755 Атанасян — Подробные Ответы
Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, \(AC=8\), \(DB= MO = 6\). Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) \(\vec{BC}\); б) \(\vec{DC}\); в) \(\vec{AC}\); г) \(\vec{DB}\).
а) \( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{MN})) = \frac{7}{65} \)
б) \( \cos(\angle(\vec{DC}, \vec{MN})) = \frac{5}{13} \)
в) \( \cos(\angle(\vec{AC}, \vec{MN})) = \frac{4}{13} \)
г) \( \cos(\angle(\vec{DB}, \vec{MN})) = \frac{3}{13} \)
Вычислим стороны ромба. По теореме Пифагора и свойству диагоналей ромба: \( AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{DB}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \). Значит, все стороны ромба по 5 см.
Найдём косинусы углов между прямой \( MN \) и заданными прямыми. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей, \( N \) — середина \( BC \), \( AC = 8 \), \( DB = MO = 6 \).
Введём координаты:
\( A(-4, 0, 0) \), \( C(4, 0, 0) \), \( B(0, -3, 0) \), \( D(0, 3, 0) \), \( O(0, 0, 0) \), \( M(0, 0, 6) \), \( N(2, -1.5, 0) \).
Вектор \( MN = N — M = (2, -1.5, -6) \).
а) \( \vec{BC} = (4, 0, 0) — (0, -3, 0) = (4, 3, 0) \).
Скалярное произведение \( \vec{BC} \cdot \vec{MN} = 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1.5) + 0 \cdot (-6) = 8 — 4.5 = 3.5 \).
Длины: \( |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \), \( |\vec{MN}| = \sqrt{2^2 + (-1.5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 2.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5 \).
\( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{MN})) = \frac{3.5}{5 \cdot 6.5} = \frac{7}{65} \).
б) \( \vec{DC} = (4, 0, 0) — (0, 3, 0) = (4, -3, 0) \).
\( \vec{DC} \cdot \vec{MN} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1.5) + 0 \cdot (-6) = 8 + 4.5 = 12.5 \).
\( |\vec{DC}| = 5 \), \( |\vec{MN}| = 6.5 \).
\( \cos(\angle(\vec{DC}, \vec{MN})) = \frac{12.5}{5 \cdot 6.5} = \frac{25}{65} = \frac{5}{13} \).
в) \( \vec{AC} = (4, 0, 0) — (-4, 0, 0) = (8, 0, 0) \).
\( \vec{AC} \cdot \vec{MN} = 8 \cdot 2 + 0 \cdot (-1.5) + 0 \cdot (-6) = 16 \).
\( |\vec{AC}| = 8 \), \( |\vec{MN}| = 6.5 \).
\( \cos(\angle(\vec{AC}, \vec{MN})) = \frac{16}{8 \cdot 6.5} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \).
г) \( \vec{DB} = (0, -3, 0) — (0, 3, 0) = (0, -6, 0) \).
\( \vec{DB} \cdot \vec{MN} = 0 \cdot 2 + (-6) \cdot (-1.5) + 0 \cdot (-6) = 9 \).
\( |\vec{DB}| = 6 \), \( |\vec{MN}| = 6.5 \).
\( \cos(\angle(\vec{DB}, \vec{MN})) = \frac{9}{6 \cdot 6.5} = \frac{9}{39} = \frac{3}{13} \).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.