Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 753 Атанасян — Подробные Ответы
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — центр грани BB1C1C. Вычислите угол между векторами: а) \(\vec{A_1D}\) и \(\vec{AM}\); б) \(\vec{MD}\) и \(\vec{BB_1}\).
Определим координаты точек: \(A(a,0,0)\), \(A_1(a,0,a)\), \(B(a,a,0)\), \(B_1(a,a,a)\), \(D(0,0,0)\), \(M(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2})\).
\( \overrightarrow{A_1D} = (-a,0,-a) \), \( \overrightarrow{AM} = (-\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}) \)
\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{\left| \frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} \right|}{\sqrt{2a^2} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}}} = 0 \Rightarrow \angle A_1DAM = 90^\circ \)
\( \overrightarrow{MD} = (-\frac{a}{2},-a,-\frac{a}{2}) \), \( \overrightarrow{BB_1} = (0,0,a) \)
\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\sqrt{a^2 + a^2/4} \cdot a} = \frac{-1}{\sqrt{5}/2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{\sqrt{5}/2} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
В примере: \( \cos(\angle MDBB_1) = -\frac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow \angle MDBB_1 = 114^\circ \)
Определим систему координат с началом в точке \( D \). Обозначим длину стороны куба как \( a \).
Запишем координаты точек:
\( A(a,0,0) \), \( A_1(a,0,a) \), \( B(a,a,0) \), \( B_1(a,a,a) \), \( D(0,0,0) \), \( M(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}) \).
Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{A_1D} \):
\( \overrightarrow{A_1D} = (0,0,0) — (a,0,a) = (-a,0,-a) \).
Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AM} \):
\( \overrightarrow{AM} = M — A = \left(\frac{a}{2} — a, a — 0, \frac{a}{2} — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \).
Вычислим косинус угла между векторами \( \overrightarrow{A_1D} \) и \( \overrightarrow{AM} \):
\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{A_1D}| \cdot |\overrightarrow{AM}|} \)
Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AM} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot a + (-a) \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} = 0 \).
Модули векторов:
\( |\overrightarrow{A_1D}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)
\( |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\frac{\sqrt{6}}{2} \)
Подставляем:
\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a\frac{\sqrt{6}}{2}} = 0 \)
Следовательно, угол \( \angle A_1DAM = 90^\circ \).
Теперь рассмотрим векторы \( \overrightarrow{MD} \) и \( \overrightarrow{BB_1} \):
\( \overrightarrow{MD} = D — M = (0,0,0) — \left(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2},-a,-\frac{a}{2}\right) \)
\( \overrightarrow{BB_1} = B_1 — B = (a,a,a) — (a,a,0) = (0,0,a) \)
Вычислим косинус угла между ними:
\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{MD}| \cdot |\overrightarrow{BB_1}|} \)
Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{BB_1} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a = -\frac{a^2}{2} \)
Модули:
\( |\overrightarrow{MD}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\frac{\sqrt{6}}{2} \)
\( |\overrightarrow{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a \)
Подставляем:
\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot a} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2\frac{\sqrt{6}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
Угол:
\( \angle MDBB_1 = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \approx 114^\circ \)
Ответ: \( \angle A_1DAM = 90^\circ \), \( \angle MDBB_1 = 114^\circ \).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.