ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 753 Атанасян — Подробные Ответы

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — центр грани BB1C1C. Вычислите угол между векторами: а) \(\vec{A_1D}\) и \(\vec{AM}\); б) \(\vec{MD}\) и \(\vec{BB_1}\).

Определим координаты точек: \(A(a,0,0)\), \(A_1(a,0,a)\), \(B(a,a,0)\), \(B_1(a,a,a)\), \(D(0,0,0)\), \(M(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2})\).

\( \overrightarrow{A_1D} = (-a,0,-a) \), \( \overrightarrow{AM} = (-\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}) \)

\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{\left| \frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} \right|}{\sqrt{2a^2} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}}} = 0 \Rightarrow \angle A_1DAM = 90^\circ \)

\( \overrightarrow{MD} = (-\frac{a}{2},-a,-\frac{a}{2}) \), \( \overrightarrow{BB_1} = (0,0,a) \)

\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\sqrt{a^2 + a^2/4} \cdot a} = \frac{-1}{\sqrt{5}/2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{\sqrt{5}/2} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)

В примере: \( \cos(\angle MDBB_1) = -\frac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow \angle MDBB_1 = 114^\circ \)

Определим систему координат с началом в точке \( D \). Обозначим длину стороны куба как \( a \).

Запишем координаты точек:
\( A(a,0,0) \), \( A_1(a,0,a) \), \( B(a,a,0) \), \( B_1(a,a,a) \), \( D(0,0,0) \), \( M(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}) \).

Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{A_1D} \):
\( \overrightarrow{A_1D} = (0,0,0) — (a,0,a) = (-a,0,-a) \).

Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AM} \):
\( \overrightarrow{AM} = M — A = \left(\frac{a}{2} — a, a — 0, \frac{a}{2} — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \).

Вычислим косинус угла между векторами \( \overrightarrow{A_1D} \) и \( \overrightarrow{AM} \):

\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{A_1D}| \cdot |\overrightarrow{AM}|} \)

Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AM} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot a + (-a) \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} = 0 \).

Модули векторов:
\( |\overrightarrow{A_1D}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \)
\( |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\frac{\sqrt{6}}{2} \)

Подставляем:
\( \cos(\angle A_1DAM) = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a\frac{\sqrt{6}}{2}} = 0 \)

Следовательно, угол \( \angle A_1DAM = 90^\circ \).

Теперь рассмотрим векторы \( \overrightarrow{MD} \) и \( \overrightarrow{BB_1} \):

\( \overrightarrow{MD} = D — M = (0,0,0) — \left(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2},-a,-\frac{a}{2}\right) \)

\( \overrightarrow{BB_1} = B_1 — B = (a,a,a) — (a,a,0) = (0,0,a) \)

Вычислим косинус угла между ними:

\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{MD}| \cdot |\overrightarrow{BB_1}|} \)

Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{BB_1} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a = -\frac{a^2}{2} \)

Модули:
\( |\overrightarrow{MD}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\frac{\sqrt{6}}{2} \)
\( |\overrightarrow{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a \)

Подставляем:
\( \cos(\angle MDBB_1) = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot a} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2\frac{\sqrt{6}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \)

Угол:
\( \angle MDBB_1 = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \approx 114^\circ \)

Ответ: \( \angle A_1DAM = 90^\circ \), \( \angle MDBB_1 = 114^\circ \).