Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 752 Атанасян — Подробные Ответы
Вычислите косинус угла между прямыми AB и CD, если: а) A \((7; -8; 15)\), B \((8; -7; 13)\), C \((2; -3; 5)\), D \((-1; 0; 4)\); б) A \((8; -2; 3)\), B \((3; -1; 4)\), C \((5; -2; 0)\), D \((7; 0; -2)\).
а) \( AB = (1,1,-2); \, CD = (-3,3,-1) \rightarrow \cos(AB\,CD) = \)
\( = \frac{|2|}{\sqrt{6} * \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}} \)
б) \( AB = (-5,1,1); \, CD = (2,2,-2) \rightarrow \cos(AB\,CD) = \frac{| -10 |}{\sqrt{27} * \sqrt{12}} = \)
\( = \frac{10}{9 * 2} = \frac{5}{9} \)
а) Даны векторы \( AB = (1, 1, -2) \) и \( CD = (-3, 3, -1) \). Требуется найти \( \cos(AB\,CD) \).
Для этого используем формулу косинуса угла между двумя векторами:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \),
где \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — их длины.
Находим скалярное произведение:
\( AB \cdot CD = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = -3 + 3 + 2 = 2 \)
Находим длины векторов:
\( |AB| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)
\( |CD| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \)
Подставляем значения в формулу:
\( \cos(AB\,CD) = \frac{|2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}} \)
б) Даны векторы \( AB = (-5, 1, 1) \) и \( CD = (2, 2, -2) \). Требуется найти \( \cos(AB\,CD) \).
Скалярное произведение:
\( AB \cdot CD = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -10 + 2 — 2 = -10 \)
Длины векторов:
\( |AB| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} \)
\( |CD| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \)
Подставляем значения в формулу:
\( \cos(AB\,CD) = \frac{|-10|}{\sqrt{27} \cdot \sqrt{12}} = \frac{10}{\sqrt{324}} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.