ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 752 Атанасян — Подробные Ответы

Вычислите косинус угла между прямыми AB и CD, если: а) A \((7; -8; 15)\), B \((8; -7; 13)\), C \((2; -3; 5)\), D \((-1; 0; 4)\); б) A \((8; -2; 3)\), B \((3; -1; 4)\), C \((5; -2; 0)\), D \((7; 0; -2)\).

а) \( AB = (1,1,-2); \, CD = (-3,3,-1) \rightarrow \cos(AB\,CD) = \)

\( = \frac{|2|}{\sqrt{6} * \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}} \)

б) \( AB = (-5,1,1); \, CD = (2,2,-2) \rightarrow \cos(AB\,CD) = \frac{| -10 |}{\sqrt{27} * \sqrt{12}} = \)

\( = \frac{10}{9 * 2} = \frac{5}{9} \)

а) Даны векторы \( AB = (1, 1, -2) \) и \( CD = (-3, 3, -1) \). Требуется найти \( \cos(AB\,CD) \).

Для этого используем формулу косинуса угла между двумя векторами:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \),
где \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — их длины.

Находим скалярное произведение:
\( AB \cdot CD = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = -3 + 3 + 2 = 2 \)

Находим длины векторов:
\( |AB| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)
\( |CD| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \)

Подставляем значения в формулу:
\( \cos(AB\,CD) = \frac{|2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}} \)

б) Даны векторы \( AB = (-5, 1, 1) \) и \( CD = (2, 2, -2) \). Требуется найти \( \cos(AB\,CD) \).

Скалярное произведение:
\( AB \cdot CD = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -10 + 2 — 2 = -10 \)

Длины векторов:
\( |AB| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} \)
\( |CD| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \)

Подставляем значения в формулу:
\( \cos(AB\,CD) = \frac{|-10|}{\sqrt{27} \cdot \sqrt{12}} = \frac{10}{\sqrt{324}} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)